TP 2 - Analyse spectrale des signaux périodiques - Partie I

4.a. Transformée de Fourier discrète

La transformée de Fourier discrète (TFD) est la transformation mathématique qui permet d'obtenir le spectre d'un signal numérique (c.a.d. d'un signal échantillonné). La TFD est définie en annexe pour information. La définition précise de la TFD n'est pas à connaître et la lecture de cette annexe n'est pas nécessaire en première approche, mais elle permet de comprendre les propriétés de la TFD que nous allons observer et qu'il faut connaître.

La TFD est une application qui, à partir de N échantillons consécutifs d'un signal numérique, fournit N nombres complexes :

\begin{align} {\rm TFD} :\ &\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}^N\\ &(u_0,u_1,\ldots u_{N-1})\rightarrow (\underline F_0,\underline F_1,\ldots \underline F_{N-1}) \end{align}

Lorsqu'on connaît la période du signal (c'est rarement le cas en pratique), on choisit ces N échantillons répartis sur exactement une période. On peut le faire avec l'exemple précédent, en respectant la condition de Nyquist-Shannon. Voici un échantillonnage comportant 30 échantillons répartis sur une période :

N = 30
T = 1.0
Te = T/N
t = np.arange(0,N)*Te
x = u(t)
figure(figsize=(10,4))
plot(t,x,"o")
xlabel('t')
ylabel('u')
grid()
                

Figure pleine page

Remarque : l'échantillon de l'instant t=T ne doit pas figurer dans le tableau, car il figure déjà à l'instant t=0. Il ne faut donc pas utiliser la fonction numpy.linspace pour générer le tableau des instants.

Pour calculer la transformée de Fourier discrète, on utilise l'algorithme de transformée de Fourier rapide. C'est pourquoi la fonction qui le fait dans python est numpy.fft.fft (FFT : Fast Fourier Transform). Voici comment on l'utilise :

from numpy.fft import fft
tfd = fft(x)
                 

On obtient ainsi le tableau des N nombres complexes ${\underline{F}}_n$.

On suppose que l'échantillonnage a été fait en respectant la condition de Nyquist-Shannon. Comme expliqué en annexe, les N/2 premiers éléments de la TFD sont les coefficients de Fourier complexes du signal (à condition que T soit exactement sa période) :

$${\underline{F}}_n={\underline{C}}_{n}pourn=0,1,2,\dots E[N/2]\text{(6)}$$

Par ailleurs, ${\underline{F}}_{N-n}$ est le complexe conjugué de ${\underline{F}}_n$ (pour $n\ge 1$).

Si N est pair, la TFD est donc constituée des coefficients de Fourier et de leurs conjugués dans l'ordre suivant :

$$({\underline{F}}_0,{\underline{F}}_1,\dots {\underline{F}}_{N-1})=({\underline{C}}_0,{\underline{C}}_1,\dots ,{\underline{C}}_{\frac{N}{2}},{\underline{C}}_{\frac{N}{2}-1}^{*},\dots ,{\underline{C}}_1^{*})\text{(7)}$$

Si N est impair, la TFD est constituée des coefficients de Fourier et de leurs conjugués dans l'ordre suivant :

$$({\underline{F}}_0,{\underline{F}}_1,\dots {\underline{F}}_{N-1})=({\underline{C}}_0,{\underline{C}}_1,\dots ,{\underline{C}}_{\frac{N-1}{2}},{\underline{C}}_{\frac{N-1}{2}}^{*},\dots ,{\underline{C}}_1^{*})\text{(8)}$$

La fréquence associée à l'élément d'indice n est égale à n fois la fréquence fondamentale :

$$f_n=\frac{n}{T}\text{(9)}$$

Plus généralement, nous verrons que T n'est pas nécessairement la période du signal mais désigne la durée du signal échantillonné (nombre d'échantillons multiplié par la période d'échantillonnage). L'échelle de fréquence associée à la TFD se construit en utilisant la règle suivante : la résolution fréquentielle de la TFD est l'inverse de la durée du signal échantillonné. Les fréquences sont 0, 1/T, 2/T, etc. Voici donc comment on construit la liste des N fréquences :

freq = np.arange(N)*1.0/T
                   

Pour obtenir le spectre, on doit calculer le module de la TFD et multiplier par 2/N (voir annexe pour la justification de ce coefficient) :

figure(figsize=(10,5))
spectre = np.absolute(tfd)*2.0/N
stem(freq,spectre) 
xlabel("f")
ylabel("Amplitude")
grid()
                   

Figure pleine page

Dans la partie à gauche, on reconnaît le spectre du signal analogique, avec le terme constant, le fondamental et les harmoniques de rang 2 et 3. On remarque que le terme de fréquence nulle est bien C₀, c'est-à-dire le double de la valeur moyenne.

On voit dans la partie à droite des raies de même hauteur mais disposées symétriquement par rapport à la fréquence médiane (ici 15). Une réplique de la raie de fréquence f₁ se trouve à la fréquence f_e-f₁, une réplique de la raie de fréquence 2f₁ se trouve à la fréquence f_e-2f₁, et une réplique de la raie de fréquence 3f₁ se trouve à la fréquence f_e-3f₁.

Si l'on s'intéresse au spectre du signal analogique, on ne retient que la première moitié, pour les fréquences allant de 0 à 15. Il faut noter que la fréquence médiane, appelée aussi fréquence de Nyquist, est la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Le dernier point du spectre correspond à la fréquence f_e-1/T.

Comme il est démontré en annexe, le spectre complet d'un signal échantillonné à la fréquence f_e est en fait périodique, de période f_e. Il faut donc imaginer une répétition périodique du spectre précédent, aussi bien à gauche qu'à droite. Voici une représentation du spectre sur 3 périodes :

spectre_etendu = np.concatenate((spectre,spectre,spectre))
figure(figsize=(10,5))
stem(spectre_etendu) 
xlabel("f")
ylabel("Amplitude")
grid()
                       

Figure pleine page

Pour que la première moitié du spectre du signal échantillonné (fréquences de 0 à f_e/2) corresponde effectivement au spectre du signal analogique, il faut que l'échantillonnage soit fait en respectant la condition de Nyquist-Shannon. Dans cet exemple, c'est encore le cas avec 7 échantillons par période :

N = 7
Te = T/N
t = np.arange(0,N)*Te
x = u(t)
tfd = fft(x)
freq = np.arange(0,N)*1.0/T
figure(figsize=(10,5))
stem(freq,np.absolute(tfd)*2.0/N) 
xlabel("f")
ylabel("Amplitude")
axis([0,7,0,1])
grid()
                      

Figure pleine page

4.b. Sous-échantillonnage : repliement de spectre

Voici ce qu'il arrive si la condition de Nyquist-Shannon n'est pas vérifiée, avec seulement 5 échantillons par périodes :

N = 5
Te = T/N
t = np.arange(0,N)*Te
x = u(t)
tfd = fft(x)
freq = np.arange(0,N)*1.0/T
figure(figsize=(10,5))
stem(freq,np.absolute(tfd)*2.0/N) 
xlabel("f")
ylabel("Amplitude")
axis([0,5,0,1])
grid()
                      

Figure pleine page

Le spectre obtenu dans la première moitié ne comporte que trois raies, de fréquences 0,1 et 2. Il ne correspond pas au spectre du signal analogique, ce qui montre qu'une information a été perdue lors de l'échantillonnage.

Plus généralement, supposons que le spectre du signal analogique possède une fréquence maximale f_max (signal à bande de fréquences limitée). La figure suivante montre le spectre du signal échantillonné lorsque la condition de Nyquist-Shannon est vérifiée et lorsqu'elle ne l'est pas. Dans le premier cas (échantillonnage suffisant), le spectre du signal analogique et le spectre image ne se recouvrent pas. On conçoit alors qu'un filtrage passe-bas du signal échantillonné permette en principe de reconstruire le signal analogique (filtre passe-bas idéal avec une fréquence de coupure f_e/2). En revanche, dans le second cas (sous-échantillonnage), le spectre du signal échantillonné présente un recouvrement entre le spectre du signal analogique et son spectre image. Ce phénomène est nommé repliement spectral car le spectre image se replie dans la bande de fréquence [0,f_e/2]. Dans ce cas, la recontruction du signal par un filtrage passe-bas idéal de fréquence de coupure f_e/2 donnerait un signal analogique différent du signal de départ car son spectre dans la bande de recouvrement est modifié.

Figure pleine page

6.a. Théorème de Shannon

Soit un signal u(t) dont le spectre admet une fréquence maximale f_max et un échantillonnage effectué à une fréquence d'échantillonnage f_e telle que :

$$f_e>2f_{max}$$

Le signal u(t) peut être entièrement reconstitué à partir des échantillons, selon la relation :

$$u\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }u\left(n{T}_e\right)\frac{sin\left(\frac{\pi }{T_e}(t-n{T}_e)\right)}{\frac{\pi }{T_e}(t-n{T}_e)}$$

La formule ci-dessus (formule de Shannon) suppose que l'on dispose d'une infinité d'échantillons, ce qui est bien sûr impossible en réalité. En raison du nombre fini d'échantillons, la reconstruction du signal à partir des échantillons est imparfaite, mais elle est d'autant meilleure que la fréquence d'échantillonnage est grande devant 2f_max. En pratique, on n'utilise pas la formule de Shannon pour reconstruire un signal car sa mise en œuvre est beaucoup trop complexe d'un point de vue calculatoire : l'évaluation de u(t) à un instant donné nécessiterait le calcul de la somme de N termes, ce qui fait une complexité globale en aN² pour calculer aN échantillons. Il est en revanche possible de reconstruire le signal en utilisant des méthodes de traitement de signal numérique (augmentation de la fréquence d'échantillonnage et filtrage numérique passe-bas). Lorsque c'est possible, il est préférable de réaliser un sur-échantillonnage ($f_e\gg 2f_{max}$) et de faire la reconstruction par interpolation linéaire.

6.b. Transformée de Fourier discrète

Le coefficient de Fourier complexe d'une fonction u(t) de période T est défini par :

$${\underline{C}}_n=A_n-j{B}_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}u\left(t\right)exp(-jn\frac{2\pi }{T}t)dt\text{(11)}$$

Soit un échantillonnage de N points répartis sur l'intervalle [0,T] :

$$u_k=u\left(k{T}_e\right),k=0,1,\dots N-1avec{T}_e=\frac{T}{N}\text{(12)}$$

La méthode des rectangles permet d'obtenir une approximation du coefficient de Fourier complexe :

$${\underline{C}}_n\approx \frac{2}{N{T}_e}\sum _{k=0}^{N-1}{u}_{k}exp(-jn\frac{2\pi }{N{T}_e}k{T}_e)T_e=\frac{2}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{u}_{k}exp(-jn\frac{2\pi }{N}k)\text{(13)}$$

On pose donc :

La transformée de Fourier discrète de rang N d'un signal échantillonnée est l'application définie par :

\begin{align} {\rm TFD} :\ &\mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{C}^N\\ &(u_0,u_1,\ldots u_{N-1})\rightarrow (\underline F_0,\underline F_1,\ldots \underline F_{N-1}) \end{align}

Si n<N/2, le nombre complexe ${\underline{F}}_n$, multiplié par 2/N, est une approximation du coefficient de Fourier complexe ${\underline{C}}_n$ de la fonction périodique de période T. La TFD définit le spectre du signal échantillonné. Le nombre complexe ${\underline{F}}_n$, multiplié par 2/N, est la composante de fréquence n/(NT_e) du spectre du signal échantillonné.

Théorème : si la fonction u(t) de période T est à bande de fréquence limitée et si elle est échantillonnée sur l'intervalle [0,T] en respectant la condition de Nyquist-Shannon, alors ${\underline{C}}_n=\frac{2}{N}{\underline{F}}_n$ pour n<N/2. Dans ce cas, la TFD donne exactement les coefficients de Fourier (au facteur 2/N près). Il s'agit d'une égalité théorique : en réalité, le calcul de la TFD est affecté d'erreurs d'arrondis qui fait que ${\underline{F}}_n$ n'est pas nul même si le coefficient de Fourier correspondant est nul.

Considérons le terme N-n de la TFD, avec $n=1,2,\dots N-1$ :

$${\underline{F}}_{N-n}=\sum _{k=0}^{N-1}{u}_{k}exp(-j2\pi \frac{N-n}{N}k)=\sum _{k=0}^{N-1}{u}_{k}exp\left(j2\pi \frac{n}{N}k\right)={\underline{F}}_n^{*}\text{(15)}$$

où $z^{*}$ désigne le complexe conjugé de z. La représentation du spectre en amplitude consiste à tracer le module de ${\underline{F}}_n$ en ordonnée et la fréquence $\frac{n}{T}=\frac{n}{N{T}_e}$ en abscisse. La propriété :

$$\left|{\underline{F}}_n\right|=\left|{\underline{F}}_{N-n}\right|\text{(16)}$$

implique que la composante du spectre de fréquence $\frac{n}{N{T}_e}$ a la même amplitude que celle de fréquence $\frac{N-n}{N{T}_e}=\frac{1}{T_e}-\frac{n}{N{T}_e}$.

Une autre propriété importante de ${\underline{F}}_n$ est :

$${\underline{F}}_{N+n}={\underline{F}}_n\text{(17)}$$

Le spectre du signal échantillonné est défini par la relation $\mathrm{(14)}$ pour $n\in\mathbb{Z}$. Le spectre du signal échantillonné est donc de période N et la donnée des N nombres complexes $({\underline{F}}_0,{\underline{F}}_1,\dots {\underline{F}}_{N-1})$ définit entièrement ce spectre.