.. include:: Mesures et incertitudes ======================= Composition des incertitudes ---------------------------- Capacité numérique : *simuler un processus aléatoire permettant de caractériser la variabilité de la valeur d’une grandeur composée*. La distribution normale est utilisée pour simuler un ensemble de mesures dont l'espérance est :math:`\mu` et l'incertitude-type :math:`\sigma`. 1. Simuler :math:`N=100\,000` mesures d'une grandeur :math:`x_1` dont l'espérance est :math:`\mu_1=2{,}0` et l'incertitude-type :math:`\sigma_1=0{,}1`. 2. Tracer un histogramme des valeurs mesurées. 3. Simuler :math:`N=100\,000` mesures d'une grandeur :math:`x_2` dont l'espérance est :math:`\mu_2=5{,}0` et l'incertitude-type :math:`\sigma_2=0{,}1`. 4. Faire une étude statistique de la somme :math:`s=x_1+x_2` (calculer la moyenne et l'écart-type). Comparer l'incertitude-type obtenu à celle donnée par la formule de composition des incertitudes. 5. Faire une étude statistique su produit :math:`p=x_1x_2`. Comparer l'incertitude-type obtenu à celle donnée par la formule de composition des incertitudes. 6. Tracer l'histogramme du produit et tracer sur la même figure la courbe représantant la loi normale correspondante. Régression linéaire : incertitude des paramètres ------------------------------------------------ Capacité numérique : *simuler un processus aléatoire de variation des valeurs expérimentales de l’une des grandeurs pour évaluer l’incertitude sur les paramètres du modèle*. La méthode des moindres carrés permet de déterminer les paramètres d'une fonction modèle qui permettent de l'ajuster au mieux à des données expérimentales. Or ces données expérimentales sont sujettes à des incertitudes. On se propose d'utiliser une simulation de Monte-Carlo pour déterminer l'incertitude qui en découle sur les paramètres du modèle. Supposons qu'on ait une série de :math:`N` valeurs :math:`x_n` dont l'incertitude est négligeable (valeurs certaines) et une série de valeurs mesurées correspondantes :math:`y_n` dont l'incertitude-type est :math:`\sigma`. Les variations aléatoires de la valeur mesurée de :math:`y` peuvent être simulées par une distribution normale d'espérance nulle et d'écart-type :math:`\sigma`. Si nous faisons l'hypothèse que la relation entre les grandeurs :math:`x` et :math:`y` est :math:`y=ax+b`, une régression linéaire permet de déterminer les paramètres :math:`a` et :math:`b` optimaux (au sens des moindres carrés). Une simulation de Monte-Carlo permet de déterminer les paramètres :math:`a` et :math:`b` moyens et leur incertitude. Pour cela, on effectue un grand nombre :math:`N_t` de tirages. Pour chacun de ces tirages, on ajoute à chaque valeur :math:`y_n` une valeur aléatoire obéissant à la loi de distribution normale avec une espérance nulle et un écart-type :math:`\sigma`, ce qui permet de simuler l'effet de l'incertitude (noter toutefois que l'espérance de la distribution résultante est la valeur expérimentale). Une régression linéaire effectuée sur les :math:`x_n` (inchangés) et les :math:`y_n` modifiés donne un couple de paramètres :math:`(a,b)`. Il s'agit alors de calculer la moyenne et l'écart-type de la série des :math:`N_t` valeurs de :math:`a` obtenue, et de la série des valeurs de :math:`b`. On obtient ainsi les valeurs des paramètres :math:`a` et :math:`b` et leur incertitude.