Discrétisation de l'équation de Poisson en coordonnées polaires

4.a. Conditions de Dirichlet

Une condition limite de Dirichlet consiste à imposer une valeur de u sur un bord du domaine ou d'un objet. Par exemple, si une condition de Dirichlet est définie sur le bord du domaine par une fonction g(θ), on écrira pour chaque point du bord :

$$U_{i,N_r-1}=g\left(i\Delta \theta \right)\text{(21)}$$

Exprimé avec le schéma général, la condition s'écrit :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & C_{i,N_r-1}=1\hfill & \hfill \text{(22)}\\ \hfill & F_{i,N_r-1}=g\left(i\Delta \theta \right)\hfill & \hfill \text{(23)}\end{array}$$

4.b. Condition de Neumann

La condition limite de Neumann consiste à fixer le gradient de u sur une frontière, plus précisément la composante du gradient perpendiculaire à la frontière. Physiquement, cela correspond à un flux imposé (champ électrique imposé, flux thermique imposé, etc).

On considère tout d'abord le bord du domaine, constitué du cercle j=N_r-1. Pour un point du bord, le volume de contrôle (e,f,g,h) est représenté en pointillé sur la figure. le volume est :

$$\frac{\Delta \theta }{2}(r_j^2-{(r_j-\frac{\Delta r}{2})}^2)=\frac{1}{2}(j-\frac{1}{4})\Delta \theta \Delta r^2\text{(24)}$$

La dérivée imposée est par convention la dérivée par rapport à r (flux sortant du domaine) :

$$\frac{\partial u}{\partial r}=w_r\left(\theta \right)\text{(25)}$$

On définit donc :

$$w_{r,i}=w\left(i\Delta \theta \right)\text{(26)}$$

Le flux sortant du volume de contrôle par le côté (g,h) est discrétisé de la manière suivante :

$${\int }_{\left(gh\right)}\overrightarrow{grad}u\cdot \overrightarrow{n}dl\simeq w_{r,i}j\Delta r\Delta \theta \text{(27)}$$

Pour le côté (e,f) on écrit :

$${\int }_{\left(ef\right)}\overrightarrow{grad}u\cdot \overrightarrow{n}dl\simeq \frac{U_{i,j-1}-U_{i,j}}{\Delta r}{r}_{j-\frac{1}{2}}\Delta \theta =(U_{i,j-1}-U_{i,j})(j-\frac{1}{2})\Delta \theta \text{(28)}$$

Le côté (fg) peut être traité comme le côté (bc) :

$${\int }_{\left(fg\right)}\overrightarrow{grad}u\cdot \overrightarrow{n}dl\simeq \frac{U_{i+1,j}-U_{i,j}}{r_j\Delta \theta }\frac{\Delta r}{2}=\frac{U_{i+1,j}-U_{i,j}}{2j\Delta \theta }\text{(29)}$$

On obtient finalement pour la condition limite de Neumann sur le bord du domaine (j=N_r-1) :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & D_{i,j}=G_{i,j}=\frac{1}{2}\hfill & \hfill \text{(30)}\\ \hfill & H_{i,j}=0\hfill & \hfill \text{(31)}\\ \hfill & B_{i,j}=(j-\frac{1}{2})j\Delta {\theta }^2\hfill & \hfill \text{(32)}\\ \hfill & C_{i,j}=-D_{i,j}-G_{i,j}-H_{i,j}-B_{i,j}\hfill & \hfill \text{(33)}\\ \hfill & F_{i,j}=S_{i,j}\frac{1}{2}(j-\frac{1}{4})j\Delta {\theta }^2\Delta r^2-w_{r,i}{j}^2\Delta r\Delta {\theta }^2\hfill & \hfill \text{(34)}\end{array}$$

Il peut arriver que le domaine soit limité par un cercle interne. Dans ce cas, le premier indice est j=J₀ et il faut écrire une condition limite sur ce cercle. On obtient alors :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & D_{i,j}=G_{i,j}=\frac{1}{2}\hfill & \hfill \text{(35)}\\ \hfill & H_{i,j}=(j+\frac{1}{2})j\Delta {\theta }^2\hfill & \hfill \text{(36)}\\ \hfill & B_{i,j}=0\hfill & \hfill \text{(37)}\\ \hfill & C_{i,j}=-D_{i,j}-G_{i,j}-H_{i,j}-B_{i,j}\hfill & \hfill \text{(38)}\\ \hfill & F_{i,j}=S_{i,j}\frac{1}{2}(j+\frac{1}{4})j\Delta {\theta }^2\Delta r^2+w_{r,i}{j}^2\Delta r\Delta {\theta }^2\hfill & \hfill \text{(39)}\end{array}$$

Voyons le cas d'un objet dans le domaine (contour PQRS) avec des conditions limites de Neumann. Pour les points des arcs PS et QR, la discrétisation est similaire à celle faite ci-dessus pour les bords du domaine. Sur le bord PQ, il faut faire intervenir la dérivée suivante :

$$\frac{\partial u}{\partial \theta }=w_{\theta }\text{(40)}$$

On pose donc pour ce côté :

$$w_{\theta ,j}=w_{\theta }\left(j\Delta r\right)\text{(41)}$$

Le volume de contrôle est représenté sur la figure par le contour (lmno). Le volume est

$$\Delta v=\frac{1}{2}j\Delta \theta \Delta r^2\text{(42)}$$

L'approximation du flux sortant du volume de contrôle par le côté (no) est :

$${\int }_{\left(no\right)}\overrightarrow{grad}u\cdot \overrightarrow{n}dl\simeq w_{\theta ,j}\Delta r\text{(43)}$$

Le côté (lm) est identique au côté (ad) traité plus haut. Le côté (nm) se traite comme le côté (cd) avec une longueur d'arc réduite de moitié. On obtient finalement :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & D_{i,j}=0\hfill & \hfill \text{(44)}\\ \hfill & G_{i,j}=1\hfill & \hfill \text{(45)}\\ \hfill & H_{i,j}=(j+\frac{1}{2})j\frac{\Delta {\Theta }^2}{2}\hfill & \hfill \text{(46)}\\ \hfill & B_{i,j}=(j-\frac{1}{2})j\frac{\Delta {\theta }^2}{2}\hfill & \hfill \text{(47)}\\ \hfill & C_{i,j}=-D_{i,j}-G_{i,j}-H_{i,j}-B_{i,j}\hfill & \hfill \text{(48)}\\ \hfill & F_{i,j}=S_{i,j}\frac{1}{2}{j}^2\Delta {\theta }^2\Delta r^2-w_{\theta ,j}j\Delta r\Delta \theta \hfill & \hfill \text{(49)}\end{array}$$

Les coins doivent recevoir un traitement particulier. Par exemple pour le coin R, le volume de contrôle est délimité par le contour (uvwxyz). Le côté (yz) est soumis à la condition de Neumann orthoradiale alors que le côté (xy) est soumis à une condition radiale. Cela signifie qu'il y a deux flux à spécifier pour les coins. On obtient pour ce point le volume :

$$\Delta v=(\frac{3}{4}j+\frac{1}{16})\Delta \theta \Delta r^2\text{(50)}$$

et les coefficients suivants :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & D_{i,j}=1\hfill & \hfill \text{(51)}\\ \hfill & G_{i,j}=\frac{1}{2}\hfill & \hfill \text{(52)}\\ \hfill & H_{i,j}=(j+\frac{1}{2})j\Delta {\theta }^2\hfill & \hfill \text{(53)}\\ \hfill & B_{i,j}=(j-\frac{1}{2})j\frac{\Delta {\theta }^2}{2}\hfill & \hfill \text{(54)}\\ \hfill & C_{i,j}=-D_{i,j}-G_{i,j}-H_{i,j}-B_{i,j}\hfill & \hfill \text{(55)}\\ \hfill & F_{i,j}=S_{i,j}(\frac{3}{4}j+\frac{1}{16})j\Delta r^2\Delta {\theta }^2+w_{\theta ,j}\frac{j}{2}\Delta r\Delta \theta +w_{r,j}\frac{j^2}{2}\Delta r\Delta {\theta }^2\hfill & \hfill \text{(56)}\end{array}$$

le coin V du contour TUWXY est différent du précédent car le domaine de calcul se trouve à l'intérieur du coin. Le volume de contrôle est (a,b,c,d). Le volume est :

$$\Delta v=(\frac{j}{4}-\frac{1}{16})\Delta \theta \Delta r^2\text{(57)}$$

On obtient pour ce point :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & D_{i,j}=\frac{1}{2}\hfill & \hfill \text{(58)}\\ \hfill & G_{i,j}=1\hfill & \hfill \text{(59)}\\ \hfill & H_{i,j}=0\hfill & \hfill \text{(60)}\\ \hfill & B_{i,j}=(j-\frac{1}{2})j\frac{\Delta {\theta }^2}{2}\hfill & \hfill \text{(61)}\\ \hfill & C_{i,j}=-D_{i,j}-G_{i,j}-H_{i,j}-B_{i,j}\hfill & \hfill \text{(62)}\\ \hfill & F_{i,j}=S_{i,j}(\frac{1}{4}j-\frac{1}{16})j\Delta r^2\Delta {\theta }^2+w_{\theta ,j}\frac{j}{2}\Delta r\Delta \theta -w_{r,j}\frac{j^2}{2}\Delta r\Delta {\theta }^2\hfill & \hfill \text{(63)}\end{array}$$