Boucle à verrouillage de phase à oscillateur numérique

3.a. Oscillateur commandé en tension

Le fonctionnement de la boucle à verrouillage de phase, en particulier avec un comparateur de phase XOR, est expliqué dans Boucle à verrouillage de phase.

Le tension de commande de l'O.C.T. (tension $u_f$) est comprise entre 0 et 5 V. La tension de référence de l'O.C.T. est $u_{ref}=2,5V$ car c'est la tension que donne le comparateur de phase lorsque les deux signaux $u_1\left(t\right)$ et $u_2\left(t\right)$ sont en quadrature (le déphasage central d'un comparateur OU-exclusif est π/2.) La tension de commande est numérisée avec le convertisseur (ADC) 10 bits du microcontrôleur (ATmega 2560).

L'O.C.T. fonctionne avec le Timer 1. Le signal généré $u_2\left(t\right)$ a un rapport cyclique 1/2. La figure suivante montre comment le compteur 16 bits du Timer 1 est utilisé pour générer ce signal.

Figure pleine page

Le registre 16 bits TCNT1 contient la valeur du compteur, qui varie d'une unité à chaque front d'horloge. La fréquence de base de l'horloge (16 MHz) peut être divisée par 8, 64, 256 ou 1024. Lorqu'il est dans sa phase de croissance et atteint la valeur stockée dans le registre ICR1, le compteur passe en phase de décroissance jusqu'à revenir à zéro. Le registre OCR1A contient une valeur qui est comparée à TCNT1 afin de générer un signal sur la sortie OC1A (qui est reliée à la borne D11 de la platine Arduino). Lorsque TCNT1 atteint OCR1A par valeurs croissantes, la sortie bascule à 0 (clear OC1A) et lorsqu'il atteint OCR1A par valeurs décroissantes la sortie bascule au niveau haut (5 volts). En choisissant OCR1A égal à ICR1/2, on génère ainsi un signal binaire de rapport cyclique 1/2 dont la période est égale à :

$$T_o=2*ICR1*T_h$$

où $T_h$ est la période de l'horloge. Par exemple, si le diviseur d'horloge est 64 on a $T_h=256/16=16$ microsecondes.

La fréquence du signal, c'est-à-dire la valeur de ICR1, doit être ajustée à chaque cycle en fonction de la tension lue sur l'entrée A0.

La théorie générale de la B.V.P. (Boucle à verrouillage de phase) fait appel à la relation linéaire suivante pour exprimer la fréquence délivrée par l'O.C.T. :

$${\omega }_2={\omega }_0+K_o(u_f-u_{ref})$$

La boucle peut aussi fonctionner si la rétroaction n'est pas linéaire mais si l'on veut que le signal u_f corresponde linéairement aux variations de fréquences, il faut utiliser un O.C.T. à commande linéaire (cela permettra aussi d'utiliser la théorie linéaire).

Notons icr₁ la valeur de référence de ICR1 et icr₁₁ la valeur permettant d'obtenir la pulsation ${\omega }_2$ en sortie de l'O.C.T.. Soit x le nombre 10 bits fourni par l'ADC. La relation précédente s'écrit :

$$\frac{2\pi }{2T_h}(\frac{1}{ic{r}_{11}}-\frac{1}{ic{r}_1})=\frac{5K_o}{1024}(x-x_{ref})\text{(1)}$$

ou encore :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & ic{r}_{11}=\frac{ic{r}_1}{1+G_o(x-x_{ref})}\hfill & \hfill \text{(2)}\\ \hfill & G_o=\frac{5K_o{T}_o}{2048\pi }=\frac{5K_o}{2048\pi f_o}\hfill & \hfill \text{(3)}\end{array}$$

Pour modifier ICR1 à chaque cycle, on programme le Timer 1 afin qu'il génère une interruption lorsque TCNT1 atteint ICR1 (Overflow interrupt). Dans le gestionnaire d'interruption correspondant, on lit la tension sur l'entrée A0 au moyen de l'ADC, qui fournit un nombre (x) 10 bits (compris entre 0 et 1024) que l'on place dans la variable input. La tension de référence, qui correspond à u₁ et u₂ en quadrature, est $u_{ref}=2,5V$, soit $x_{ref}=512$.

Une particularité importante de cet oscillateur commandé en tension est la quantification de la tension de commande et de la fréquence de sortie. En effet, la tension de commande est quantifiée de $5000/1024\approx 5mV$. La quantification de la fréquence vient du fait que ICR1 ne peut varier que par unité. La variation relative de fréquence correspondante est environ égale à l'inverse de l'ICR1. Pour réduire le pas de fréquence, on aura donc intérêt à utiliser une valeur de ICR1 la plus grande possible, c'est-à-dire utiliser le plus plus petit diviseur de fréquence d'horloge possible. Par exemple, pour générer un signal de 1 kHz, on ne divise pas la fréquence d'horloge.

Pour que la B.V.P. fonctionne correctement, il faut que les variations de la tension de commande soient beaucoup plus grandes que le pas de quantification. Il faudra donc choisir la valeur de K_o assez petite pour que la variation de fréquence recherchée soit obtenue pour des valeurs assez grandes de $x-x_{ref}$ (de l'ordre de la centaine). Cependant, la valeur de K_o a aussi un effet sur la plage de fréquence de verrouillage de la boucle. Pour un comparateur XOR la plage de fréquence de verrouillage est définie par :

$$|f-f_o|<\frac{\pi K_o}{20}\text{(4)}$$

Il faudra donc choisir la valeur de K_o la plus petite compte tenu de la plage de fréquence voulue. Dans l'exemple montré ci-après, f_o=1000 Hz et icr₁=8000 (sans division de la fréquence d'horloge).

3.b. Signal modulé en fréquence

Afin de tester la boucle à verrouillage de phase, on génère sur la sortie D6 un signal binaire dont la fréquence est modulée à une fréquence variable.

Le signal est généré avec le Timer 4 sur la sortie OC4A, qui est reliée à la borne D6 de la carte Arduino. Le Timer 3 est utilisé pour déclencher des interruptions périodiques, dont le gestionnaire est chargé de modifier la valeur de ICR4.

Notons Δf l'amplitude de la modulation de fréquence et T sa période. Notons icr₄ la valeur de ICR4 correspondant à la fréquence moyenne et icr₄₁ la valeur à l'instant t, donnée par :

$$\frac{1}{ic{r}_{41}}=\frac{1}{ic{r}_4}+2T_h\Delta fsin\left(\frac{2\pi t}{T}\right)\text{(5)}$$

Les valeurs de TCR4 sur une période sont stockées dans un tableau contenant NMOD valeurs. Le gestionnaire d'interruption lit ce tableau en incrémentant l'indice d'une unité à chaque appel et actualise ICR4. La fréquence des interruptions est donc F*NMOD.

5.a. Choix des paramètres

La théorie (Boucle à verrouillage de phase) permet de déterminer la réponse fréquentielle de la boucle. Voici sa fonction de transfert :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \underline{H}\left(s\right)=\frac{1+{\tau }_{2}s}{1+2\xi \frac{s}{{\Omega }_n}+\frac{s^2}{{\Omega }_n^2}}\hfill & \hfill \text{(6)}\\ \hfill & {\Omega }_n=\sqrt{\frac{K_d{K}_o}{{\tau }_1+{\tau }_2}}\hfill & \hfill \text{(7)}\\ \hfill & \xi =\frac{{\Omega }_n}{2}({\tau }_2+\frac{1}{K_d{K}_o})\hfill & \hfill \text{(8)}\end{array}$$

avec ${\tau }_1=R_{1}C$ et ${\tau }_2=R_{2}C$. On a choisi R₁=10 kΩ et C=1 μF (valeurs nominales). Après mesure de R₁ et C on obtient ${\tau }_1=0,998\cdot 10^{-2}s$. Le temps ${\tau }_2$ doit être au moins 100 fois plus petit. Dans le cas présent, on peut choisir ${\tau }_2=0$, ce qui implique :

$$\xi =\frac{{\Omega }_n}{2K_d{K}_o}=\frac{1}{2\sqrt{{\tau }_1{K}_d{K}_o}}\text{(9)}$$

avec K_d=5/π V/rad (car le niveau logique haut est à 5 V).

Par ailleurs, la valeur de K_o détermine la demi-plage de fréquence de verrouillage de la boucle :

$$|f-f_o|<\frac{5K_o}{4\pi }\text{(10)}$$

La valeur optimale du facteur d'amortissement est $\xi =1/\sqrt{2}$. On peut choisir K_o pour satisfaire la plage de fréquence souhaitée puis calculer ${\tau }_1$, ou bien calculer K_o si la valeur de ${\tau }_1$ est donnée par le choix de R₁ et C. Nous adoptons cette seconde méthode et obtenons :

$$K_o=\frac{\pi }{10{\tau }_1}=31,5rad\cdot V^{-1}\cdot s^{-1}\text{(11)}$$

ce qui implique 1/(K_oK_d)=0,01 s et justifie le choix ${\tau }_2=0$. L'amplitude maximale de variation de la fréquence est donc Δf=12,5 Hz. La fréquence de référence est 1000 Hz et cette valeur est obtenue avec icr₁=8000. On a donc $G_o=2,4\cdot 10^{-5}$ et, en conséquence, un changement d'une unité de x (la valeur donnée par l'ADC) se traduit par un changement de icr₁ égal à environ icr₁G_o=0,2, ce qui signifie qu'il faut un changement de x de 5 unités pour modifier la fréquence.

Les paramètres de la réponse fréquentielle sont finalement :

$$\begin{array}{cc}\hfill & {\Omega }_n=71rad\cdot s^{-1}\hfill \\ \hfill & F_n=11,2Hz\hfill \\ \hfill & \xi =0,71\hfill \end{array}$$

import numpy as np
from matplotlib.pyplot import *
f = np.logspace(0,2,500)
def H(f,xi,Omega_n):
    x = 2*np.pi*f/Omega_n
    return 1/(1+2*1j*xi*x-x**2)
H1 = H(f,0.71,71)
GdB1 = 20*np.log10(np.absolute(H1))
figure()
plot(f,GdB1)
xscale('log')
xlabel(r"$F (Hz)$")
ylabel(r"$G_{\rm dB}$")
grid()
    	          

reponse1.pdf

Si l'on veut choisir la plage de fréquences tout en gardant la condition $\xi =1/\sqrt{2}$, il faut calculer ${\tau }_1$ en conséquence, puis choisir des valeurs de R₁ et C adaptées.

Remarque : la quantification de la tension u_f impose de ne pas choisir une valeur de K_o trop grande. Il faut en effet que le bruit de quantification n'ait pas d'effet sur la fréquence, c'est-à-dire G_oicr₁< 1, condition qui s'écrit aussi :

$$K_o<\frac{2048\pi f_o}{5ic{r}_1}\text{(12)}$$

qui pour la fréquence de référence adoptée donne K_o<161 rad/V/s.

Dans le cas d'une B.V.P. dont l'O.C.T. est analogique, il est possible d'employer une constante K_o beaucoup plus grande, ce qui a pour effet de réduire l'amplitude des variations de u_f. Dans ce cas, le temps ${\tau }_2$ n'est plus négligeable dans l'expression de $\xi$ et sert alors de variable d'ajustement pour obtenir la valeur optimale du taux d'amortissement. Si la valeur de ${\tau }_1$ ne change pas, augmenter K_o permet d'augmenter Ω_n, donc d'augmenter la largeur de bande passante de la boucle (c.a.d. augmenter sa rapidité), mais cela a pour inconvénient la nécessiter d'amplifier les variations de u_f pour en tirer l'information sur la fréquence. Sachant que l'amplification peut elle-même introduire un temps de réponse non négligeable, il faut trouver un compromis.

5.b. Test de la boucle

La vidéo suivante montre les deux signaux u₁ (en bleu) et u₂ (en rouge), pour une amplitude de modulation de 3 Hz et une fréquence de modulation de 1 Hz.

Le point de déclenchement, synchronisé sur u₁, est à visible gauche (à -0.005 ms). La modulation de fréquence est visible sur u₁. Le signal u₂ est bien toujours synchrone avec u₁, ce qui montre que la boucle est en permanence verrouillée, mais le déphasage entre les deux signaux oscille au rythme de la modulation, avec une valeur moyenne de π/2.

L'observation du signal u_f, c'est-à-dire la sortie du filtre et la tension de commande de l'O.C.T., permet de suivre la modulation de fréquence. La valeur de cette tension est d'ailleurs accessible dans le programme Arduino (variable globale input), mais il est plus judicieux d'utiliser directement icr_1 pour calculer la fréquence, comme cela est fait dans la fonction loop.

Voici le signal u_f à une fréquence de modulation de 1 Hz :

Voici le signal u_f a une fréquence de modulation de 10 Hz :

Il n'y a pas d'atténuation alors que le modèle prévoyait environ -2 dB pour cette fréquence.

Voici le signal pour une modulation de 20 Hz :

puis pour une modulation de 40 Hz :

Revenons à une fréquence de modulation de 10 Hz et triplons l'amplitude de la modulation (9 Hz) :

Comme prévu, l'amplitude de variation de la tension u_f est trois fois plus grande.

5.c. Modulation FSK

La modulation FSK (Frequency Shift Keying) est une méthode de modulation de fréquence utilisée en transmission numérique, consistant à attribuer une fréquence pour les bits de valeur 0 et une autre fréquence voisine pour les bits de valeur 1. Pour tester ce type de modulation, il suffit de remplir la table des valeurs de ICR4 avec un signal carré :

for (uint16_t i=0; i<NMOD/2; i++) icr_41[i] = 1.0/(1.0/icr_4+2*Th*1e-6*Delta_f);
for (uint16_t i=NMOD/2; i<NMOD; i++) icr_41[i] = 1.0/(1.0/icr_4-2*Th*1e-6*Delta_f);         
                      

Voici le signal u_f pour une fréquence de modulation de 1 Hz :

Ce signal montre en fait la réponse indicielle de la B.V.P.. Le temps de réponse, relevé entre les deux traits verticaux, est 91 ms, ce qui est conforme à la valeur F_n=11 Hz calculée d'après le modèle linéaire. En revanche, on observe un léger dépassement, contrairement à ce qu'indiquait la valeur du coefficient d'amortissement.

Afin d'éliminer ce dépassement, nous réduisons la valeur de K_o (pour augmenter le coefficient d'amortissement). Voici le signal pour K_o=15 rad⋅V^-1⋅s^-1 :

Le temps de réponse est 75 ms.

5.d. Décrochage de la boucle

Voici le signal u_f pour Δf=13 Hz, valeur légèrement au dessus de la plage de fréquences d'accrochage de la boucle.

Cela montre qu'il ne faut pas dépasser la plage de fréquence autorisée.

5.e. Conclusion

Les réponses fréquentielles et indicielles sont notablement différentes de ce que prévoit le modèle pour les paramètres choisis. Il faut remarquer que ce modèle suppose une réponse instantanée de l'O.C.T., la variation de fréquence étant proportionnelle à la variation de la tension de commande. Or l'O.C.T. a un temps de réponse de l'ordre de grandeur de la période, soit 1 ms, qui est bien négligeable devant le temps de réponse de la boucle.