Ondes et conducteurs

Ondes électromagnétiques et conducteurs

1. Onde électromagnétique dans un métal

a. Équation de propagation

Domaine de fréquences : radio-fréquences et ondes centimétriques ( $f < 1 T H z$ ).

$\vec{E}, \vec{B}$ : champ électromagnétique moyen dans le métal (échelle mésoscopique).

Hypothèse : les équations de Maxwell sont valables pour le champ moyen.

Loi d'Ohm locale :

\vec{j} = γ \vec{E}

Équation de Maxwell-Ampère :

\vec{r o t} \vec{B} = μ_{0} γ \vec{E} + ε_{0} μ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

En régime sinusoïdal permanent ( $e^{i ω t}$ ) :

\vec{r o t} \vec{\underset{̲}{B}} = μ_{0} (γ + i ε_{0} ω) \vec{\underset{̲}{E}}

Pour $f < 1 T H z$ , $ε_{0} ω < 56 S \cdot m^{- 1}$ .

\vec{r o t} \vec{B} \approx μ_{0} γ \vec{E}

L'A.R.Q.S. est valable dans le métal.

Conséquence : $d i v \vec{E} = 0$ donc $ρ = 0$ .

Équations de Maxwell dans le métal

\begin{matrix} d i v \vec{E} = 0 \\ \vec{r o t} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ d i v \vec{B} = 0 \\ \vec{r o t} \vec{B} = μ_{0} γ \vec{E} \end{matrix}

Équation de propagation :

Δ \vec{E} = μ_{0} γ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Équation de diffusion.

1. Onde électromagnétique dans un métal

a. Équation de propagation

b. Effet de peau

Onde plane monochromatique de polarisation rectiligne :

\begin{matrix} \vec{E} = E_{0} e^{i (ω t - \underset{̲}{k} x)} {\vec{u}}_{y} \\ {\underset{̲}{k}}^{2} = - i ω μ_{0} γ = e^{- i \frac{π}{2}} ω μ_{0} γ \\ \underset{̲}{k} = \pm e^{- i \frac{π}{4}} \sqrt{ω μ_{0} γ} = \pm \frac{1 - i}{\sqrt{2}} \sqrt{ω μ_{0} γ} = \pm \frac{1 - i}{δ} \\ δ = \sqrt{\frac{2}{ω μ_{0} γ}} \end{matrix}

O.P.P.M. en incidence normale sur la surface d'un métal

Onde dans le métal ( $x > 0$ ) :

\underset{̲}{E_{y}} (x, t) = E_{1} e^{- x / δ} e^{i (ω t - x / δ)} + E_{2} e^{x / δ} e^{i (ω t + x / δ)}

Si $L ≫ δ$ , on enlève le terme croissant ( $E_{2} ≪ E_{1}$ ) :

E_{y} (x, t) = E_{1} e^{- \frac{x}{δ}} cos (ω t - \frac{x}{δ})

Onde évanescente (non stationnaire).

$δ$ : profondeur de pénétration de l'onde dans le métal.

Justification pour un milieu semi-infini ( $L \to \infty$ ) : le champ électrique ne peut tendre vers l'infini car la densité d'énergie est finie, donc $E_2=0$.

Effet de peau : dans un métal, le champ électromagnétique est non nul seulement au voisinage des surfaces, sur une épaisseur

δ = \sqrt{\frac{2}{ω μ_{0} γ}}

Densité de courant électrique :

j_{y} (x, t) = γ E_{1} e^{- \frac{x}{δ}} cos (ω t - \frac{x}{δ})

Densité de puissance dissipée moyenne :

< \vec{j} \cdot \vec{E} > = \frac{1}{2} γ E_{1}^{2} e^{- \frac{2 x}{δ}}

Puissance moyenne dissipée par unité de surface :

< P > = \int_{0}^{\infty} < \vec{j} \cdot \vec{E} > d x = \frac{1}{4} γ δ E_{1}^{2}

Simulation : Réflexion sur un conducteur

1. Onde électromagnétique dans un métal

a. Équation de propagation

b. Effet de peau

c. Conducteur parfait

Modèle du conducteur parfait :

Conductivité infinie : $γ \to \infty$ .
Profondeur de pénétration nulle : $δ = 0$ .
Champ électromagnétique nul : $\vec{E} = \vec{0}$ et $\vec{B} = \vec{0}$ .
Puissance moyenne dissipée nulle : $< P > = 0$ .
Charges et courants localisés sur la surface.

Modèle valable si $λ ≫ δ$ .

Surface d'un conducteur parfait :

Densité de charge de surface : $σ$ .
Densité de courant de surface : $\vec{j_{s}}$ , vecteur tangent à la surface.

Intensité du courant dans un segment de longueur $d ℓ$ et de normale $\vec{t}$ :

d I = \vec{j_{s}} \cdot \vec{t} d ℓ

Relations de passage entre deux milieux :

\begin{matrix} {\vec{E}}_{2} (P) - {\vec{E}}_{1} (P) = \frac{σ (P)}{ε_{0}} {\vec{n}}_{12} \\ {\vec{B}}_{2} (P) - {\vec{B}}_{1} (P) = μ_{0} \vec{j_{s}} (P) \land {\vec{n}}_{12} \end{matrix}

Champ au voisinage d'un conducteur parfait :

\begin{matrix} \vec{E} = \frac{σ}{ε_{0}} \vec{n} \\ \vec{B} = μ_{0} \vec{j_{s}} \land \vec{n} \end{matrix}

La composante tangentielle de $\vec{E}$ est nulle.

La composante normale de $\vec{B}$ est nulle.

2. Réflexion sur un conducteur parfait

a. Ondes incidente et réfléchie

Onde plane progressive monochromatique de polarisation rectiligne, en incidence normale sur la surface plane d'un conducteur parfait.

Conditions limites sur la surface du conducteur parfait :

\begin{matrix} E_{y} = E_{z} = 0 \\ B_{x} = 0 \end{matrix}

Onde incidente dans le vide:

\begin{matrix} \underset{̲}{E_{i y}} (x, t) = E_{0} e^{i (ω t - k x)} \\ \underset{̲}{B_{i z}} (x, t) = \frac{E_{0}}{c} e^{i (ω t - k x)} \end{matrix}

Relation de dispersion dans le vide :

k = \frac{ω}{c}

Ne satisfait pas la condition limite $E_{y} (0, t) = 0$ .

Nécessité d'un onde réfléchie.

Hypothèses : l'onde réfléchie a la même pulsation, se propage dans la même direction mais en sens inverse, a la même polarisation.

\begin{matrix} \underset{̲}{E_{r y}} (x, t) = \underset{̲}{r} E_{0} e^{i (ω t + k x)} \\ \underset{̲}{B_{r z}} (x, t) = - \underset{̲}{r} \frac{E_{0}}{c} e^{i (ω t + k x)} \end{matrix}

$\underset{̲}{r}$ : coefficient de réflexion du champ électrique.

Champ électrique total pour $x < 0$ :

\underset{̲}{E_{y}} (x, t) = E_{0} e^{i (ω t - k x)} + \underset{̲}{r} E_{0} e^{i (ω t + k x)}

Champ électrique sur la surface du conducteur :

\underset{̲}{E_{y}} (0, t) = E_{0} (1 + \underset{̲}{r}) e^{i ω t}

La condition limite est satisfaite si $\underset{̲}{r} = - 1$ .

Impossible à satisfaire si une des hypothèses n'est pas vérifiée.

2. Réflexion sur un conducteur parfait

a. Ondes incidente et réfléchie

b. Courant de surface

Champ magnétique sur la surface du conducteur :

\begin{matrix} \underset{̲}{B_{z}} (0, t) = \frac{2 E_{0}}{c} e^{i ω t} \\ B_{z} (0, t) = \frac{2 E_{0}}{c} cos (ω t) \end{matrix}

Relation de passage :

\vec{B} = μ_{0} \vec{j_{s}} \land \vec{n} = - μ_{0} \vec{j_{s}} \land \vec{u_{x}}

Densité de courant de surface :

{\vec{j}}_{s} = \frac{2 E_{0}}{μ_{0} c} cos (ω t) {\vec{u}}_{y}

Le courant de surface est causé par le champ électrique de l'onde incidente et il est la cause de l'onde réfléchie.

2. Réflexion sur un conducteur parfait

a. Ondes incidente et réfléchie

b. Courant de surface

c. Onde résultante

Champ électromagnétique total :

\begin{matrix} \underset{̲}{E_{y}} (x, t) = - 2 i E_{0} sin (k x) e^{i ω t} \\ \underset{̲}{B_{z}} (x, t) = \frac{2 E_{0}}{c} cos (k x) e^{i ω t} \\ E_{y} (x, t) = 2 E_{0} sin (k x) sin (ω t) \\ B_{z} (x, t) = \frac{2 E_{0}}{c} cos (k x) cos (ω t) \end{matrix}

Onde stationnaire. Les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ oscillent en quadrature.

Nœuds du champ électrique :

\begin{matrix} sin (k x) = 0 \\ x = - p \frac{λ}{2} (p = 0, 1, 2, \dots) \end{matrix}

2. Réflexion sur un conducteur parfait

a. Ondes incidente et réfléchie

b. Courant de surface

c. Onde résultante

d. Bilan de puissance

Vecteur de Poynting moyen de l'onde incidente :

< {\vec{Π}}_{i} > = \frac{E_{0}^{2}}{2 μ_{0} c} {\vec{u}}_{x}

Vecteur de Poynting moyen de l'onde réfléchie :

< {\vec{Π}}_{r} > = - \frac{E_{0}^{2}}{2 μ_{0} c} {\vec{u}}_{x}

Coefficient de réflexion de la puissance :

R = \frac{Π_{r}}{Π_{i}} = 1

Toute la puissance de l'onde incidente est réfléchie. Le conducteur parfait est un réflecteur parfait.

2. Réflexion sur un conducteur parfait

a. Ondes incidente et réfléchie

b. Courant de surface

c. Onde résultante

d. Bilan de puissance

e. Conducteur réel

\frac{δ}{λ} = \frac{1}{π \sqrt{2}} \sqrt{\frac{ε_{0} ω}{γ}}

Dans le domaine des radio-fréquences et ondes centimétriques, les métaux sont des conducteurs quasi parfaits.

Existence d'un courant de volume sur une épaisseur $δ$ et d'une puissance dissipée.

3. Cavité électromagnétique

a. Définition

Cavité électromagnétique : enceinte métallique dont la taille est de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde.

Dans une cavité sans pertes (conducteurs parfaits et pas d'ouverture), possibilité d'un champ électromagnétique auto-oscillant : onde électromagnétique stationnaire confinée dans la cavité.

3. Cavité électromagnétique

a. Définition

b. Cavité à une dimension sans pertes

Recherche d'une onde plane de polarisation rectiligne : $E_{y} (x, t)$ .

Équation de propagation dans le vide :

\frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}}

Conditions limites sur les conducteurs parfaits :

E_{y} (0, t) = E_{y} (L, t) = 0

Recherche d'une solution stationnaire

\begin{matrix} E_{y} (x, t) = f (x) g (t) \\ \frac{f'' (x)}{f (x)} = \frac{1}{c^{2}} \frac{g'' (t)}{g (t)} \end{matrix}

Fonction de $x$ égale à une fonction de $t$.

\begin{matrix} \frac{f'' (x)}{f (x)} = - k^{2} \\ \frac{g'' (t)}{g (t)} = - c^{2} k^{2} \end{matrix}

f'' (x) + k^{2} f (x) = 0

f (x) = E_{0} cos (k x) + E_{1} sin (k x)

Conditions limites : $f (0) = 0$ et $f (L) = 0$ .

$E_{0} = 0$ et $k L = p π$ avec $p$ entier positif.

Impossible de satisfaire les C.L. si $k^{2} < 0$ .

g'' (t) + k^{2} c^{2} g (t) = 0

On pose $\omega=kc$.

g (t) = α cos (ω t) + β sin (ω t)

Choix de l'origine de $t$ telle que $\beta=0$.

E_{y} (x, t) = E_{1} sin (k x) cos (ω t)

Mode propre de rang p :

E_{y} (x, t) = E_{1} sin (p \frac{π x}{L}) cos (p \frac{π c t}{L})

Longueur d'onde :

λ = \frac{2 L}{p}

Pulsation propre :

ω = p \frac{c π}{L}

Onde plane de polarisation rectiligne dans la cavité :

E_{y} (x, t) = \sum_{p = 1}^{\infty} E_{p} sin (p \frac{π x}{L}) cos (p \frac{π c t}{L})

Dans une cavité sans pertes, un champ auto-oscillant peut exister.

En réalité, il y a des pertes dans les conducteurs et par les ouvertures, qu'il faut compenser par un apport d'énergie.

Simulation : Modes propres d'une cavité sans perte.