Ondes dispersif

1. Milieux dispersifs

a. Définitions

Onde plane progressive monochromatique de polarisation rectiligne :

E_{y} (x, t) = E_{0} cos (ω t - k x)

$k (ω)$ : relation de dispersion.

Vitesse de phase :

V_{φ} = \frac{ω}{k (ω)}

Lorsqu'une onde traverse successivement différents milieux, sa fréquence ne change pas.

Longueur d'onde dans le vide :

λ_{0} = \frac{c}{f} = \frac{c 2 π}{ω}

Un milieu est dispersif si la vitesse de phase dépend de la fréquence.

Indice de réfraction :

n = \frac{c}{V_{φ}}

L'indice de réfraction d'un milieu dispersif dépend de la fréquence, c.-à-d. de la longueur d'onde dans le vide.

Dispersion de la lumière en optique.

Superposition de deux O.P.P.M. de fréquences différentes :

\begin{matrix} E_{y} = E_{1} cos (ω_{1} t - k_{1} x) + E_{2} cos (ω_{2} t - k_{2} x) \\ k_{1} = k (ω_{1}) \\ k_{2} = k (ω_{2}) \end{matrix}

Vitesses de phase

\frac{ω_{1}}{k_{1}} \neq \frac{ω_{2}}{k_{2}}

L'onde résultante n'est pas progressive.

1. Milieux dispersifs

a. Définitions

b. Vitesse de groupe

Superposition de deux O.P.P.M. de pulsations peu différentes :

\begin{matrix} {\underset{̲}{E}}_{y} (x, t) = E_{0} (e^{i (ω_{1} t - k_{1} x)} + e^{i (ω_{2} t - k_{2} x)}) \\ ω_{1} = ω_{0} - \frac{Δ ω}{2} \\ ω_{2} = ω_{0} + \frac{Δ ω}{2} \\ k_{1} \approx k (ω_{0}) - \frac{Δ ω}{2} k' (ω_{0}) = k_{0} - \frac{Δ ω}{2} k'_{0} \\ k_{2} \approx k (ω_{0}) + \frac{Δ ω}{2} k' (ω_{0}) = k_{0} + \frac{Δ ω}{2} k'_{0} \\ {\underset{̲}{E}}_{y} (x, t) = 2 E_{0} e^{i (ω_{0} t - k_{0} x)} cos (\frac{Δ ω}{2} (t - k'_{0} x)) \end{matrix}

E_{y} (x, t) = 2 E_{0} cos (ω_{0} t - k_{0} x) cos (\frac{Δ ω}{2} (t - k'_{0} x))

Similaire à une O.P.P.M. de pulsation $ω_{0}$ et de nombre d'onde $k_{0}$ dont l'amplitude est lentement modulée par :

A (x, t) = 2 E_{0} cos (\frac{Δ ω}{2} (t - k'_{0} x))

Vitesse de propagation de la modulation

V_{g} = \frac{1}{k'_{0}} = \frac{d ω}{d k} (ω_{0})

Dans un milieu dont la relation de dispersion est la fonction $k (ω)$ , la vitesse de groupe est l'inverse de la dérivée de cette fonction, c.a.d. la dérivée de la fonction réciproque $ω (k)$ :

V_{g} = \frac{d ω}{d k}

La modulation d'amplitude se propage à la vitesse de groupe, évaluée à la fréquence de la porteuse ( $ω_{0}$ ).

L'information se propage à la vitesse de groupe (modulation d'amplitude ou de fréquence).

Dans un milieu dispersif, la vitesse de groupe est différente de la vitesse de phase.

\frac{d V_{φ}}{d ω} = \frac{1}{k} (1 - \frac{V_{φ}}{V_{g}})

Animation : Superposition de deux ondes sinusoïdales et dispersion

1. Milieux dispersifs

a. Définitions

b. Vitesse de groupe

c. Paquet d'ondes

Signal périodique :

\underset{̲}{F} (t) = \sum_{n = 1}^{M} \underset{̲}{A_{n}} e^{i (n ω_{1} t)}

{\underset{̲}{E}}_{y} (x, t) = \sum_{n = 1}^{M} \underset{̲}{A_{n}} e^{i (n ω_{1} t - k (n ω_{1}) x)}

$k (ω)$ : relation de dispersion.

Gaussienne de largeur $σ$ (écart-type de la loi de probabilité normale) :

Spectre gaussien :

Limite $T_{1} \to \infty$ : spectre continu.

\underset{̲}{F} (t) = \int_{0}^{\infty} \underset{̲}{A} (ω) e^{i ω t} d ω

$\underset{̲}{A} (ω)$ : spectre en pulsations.

Champ électrique complexe :

\underset{̲}{E_{y}} (x, t) = \int_{0}^{\infty} \underset{̲}{A} (ω) e^{i (ω t - k (ω) x)} d ω

$k (ω)$ : relation de dispersion.

$Δ ω$ : largeur spectrale.

$Δ t$ : durée du paquet d'ondes.

Δ ω Δ t \approx 1

Paquet d'ondes dans le vide :

\underset{̲}{E_{y}} (x, t) = \int_{0}^{\infty} \underset{̲}{A} (ω) e^{i (ω (t - \frac{x}{c}))} d ω

Largeur du paquet : $Δ x = c Δ t$ .

Dans le vide, un paquet d'ondes se déplace sans déformation à la vitesse c.

Animation : Paquets d'ondes et dispersion

Dans un milieu faiblement dispersif, en première approximation, le paquet se déplace à la vitesse de groupe.

Étalement du paquet d'ondes.

Δ x \geq c Δ t

2. Ondes électromagnétiques dans un plasma

a. Définition

Un plasma est un gaz partiellement ou totalement ionisé, constitué d'ions, d'électrons et d'atomes neutres ou de molécules.

Densité électronique $n_{e}$ et température $T$ .

2. Ondes électromagnétiques dans un plasma

a. Définition

b. L'ionosphère

2. Ondes électromagnétiques dans un plasma

a. Définition

b. L'ionosphère

c. Plasma neutre de faible densité

Hypothèse : le plasma est localement neutre

ρ = 0

Force agissant sur les charges (électrons et ions) :

\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \land \vec{B})

Pour un plasma de faible densité, on néglige les interactions entre particules. Le champ électromagnétique est celui de l'onde.

E ≃ c B

Hypothèse : $v ≪ c$

\vec{F} = q \vec{E}

Équation du mouvement d'une particule chargée :

m \frac{d \vec{v}}{d t} = q \vec{E}

Régime permanent en présence d'un champ électrique oscillant à la pulsation $ω$ :

i ω m \vec{\underset{̲}{v}} = q \vec{\underset{̲}{E}}

Vecteur densité de courant électrique (électronique et ionique) :

\vec{j} = n_{e} q_{e} {\vec{v}}_{e} + n_{i} q_{i} {\vec{v}}_{i}

\vec{\underset{̲}{j}} = - i (\frac{n_{e} q_{e}^{2}}{ω m_{e}} + \frac{n_{i} q_{i}^{2}}{ω m_{i}}) \vec{\underset{̲}{E}}

Masse des ions : $m_{i} \approx 1000 m_{e}$

\vec{\underset{̲}{j}} = - i \frac{n_{e} q_{e}^{2}}{ω m_{e}} \vec{\underset{̲}{E}}

Conductivité complexe :

\underset{̲}{γ} = - i \frac{n_{e} q_{e}^{2}}{ω m_{e}}

Conductivité imaginaire pur : la densité de courant oscille en quadrature avec le champ électrique.

Puissance moyenne reçue par les électrons :

< \vec{j} \cdot \vec{E} > = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} j_{0} E_{0} cos (ω t) sin (ω t) d t = 0

En moyenne, pas d'échange d'énergie entre le champ électromagnétique et le plasma.

2. Ondes électromagnétiques dans un plasma

a. Définition

b. L'ionosphère

c. Plasma neutre de faible densité

d. Équation de propagation

Équations de Maxwell dans un plasma localement neutre de faible densité:

\begin{matrix} d i v \vec{E} = 0 \\ \vec{r o t} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ d i v \vec{B} = 0 \\ \vec{r o t} \vec{B} = μ_{0} \vec{j} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{matrix}

Δ \vec{E} = μ_{0} \frac{\partial \vec{j}}{\partial t} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

où la densité de courant s'exprime en fonction du champ électrique :

\vec{\underset{̲}{j}} = - i \frac{n_{e} e^{2}}{ω m_{e}} \vec{\underset{̲}{E}}

\vec{j} = \frac{n_{e} e^{2}}{m_{e}} \int \vec{E} (t) d t

Équation de propagation :

\begin{matrix} Δ \vec{E} = μ_{0} \frac{n_{e} e^{2}}{m_{e}} \vec{E} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\ Δ \vec{E} = \frac{n_{e} e^{2}}{ε_{0} c^{2} m_{e}} \vec{E} + \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \end{matrix}

2. Ondes électromagnétiques dans un plasma

a. Définition

b. L'ionosphère

c. Plasma neutre de faible densité

d. Équation de propagation

e. Relation de dispersion

Recherche d'une solution plane monochromatique de polarisation rectiligne :

\underset{̲}{\vec{E}} (z, t) = E_{0} e^{i (ω t - \underset{̲}{k} z)} {\vec{u}}_{x}

Progressive seulement si $\underset{̲}{k}$ est réel.

\begin{matrix} {\underset{̲}{k}}^{2} & = \frac{ω^{2}}{c^{2}} - \frac{n_{e} e^{2}}{ε_{0} m_{e} c^{2}} \\ = \frac{ω^{2}}{c^{2}} - \frac{ω_{c}^{2}}{c^{2}} \end{matrix}

Pulsation de coupure du plasma :

ω_{c} = \sqrt{\frac{n_{e} e^{2}}{ε_{0} m_{e}}}

$m_{e} = 9, 1 \cdot 1 0^{- 31} k g$ , $e = 1, 6 \cdot 1 0^{- 19} C$ , $ε_{0} = 8, 85 \cdot 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}$ .

Ionosphère : $n_{e} ≃ 1 0^{12} m^{- 3}$ , $f_{c} \approx 9 M H z$

2. Ondes électromagnétiques dans un plasma

a. Définition

b. L'ionosphère

c. Plasma neutre de faible densité

d. Équation de propagation

e. Relation de dispersion

f. Onde progressive

Si $ω > ω_{c}$ :

k = \frac{1}{c} \sqrt{ω^{2} - ω_{c}^{2}}

Relation de dispersion d'une O.P.P.M., par exemple :

E_{x} (z, t) = E_{0} cos (ω t - k z)

Vitesse de phase :

V_{φ} = \frac{ω}{k} = \frac{c}{\sqrt{1 - \frac{ω_{c}^{2}}{ω^{2}}}}

Le plasma est un milieu très dispersif si $ω$ est proche de $ω_{c}$ .

Dérivation de la relation de dispersion :

2 k \frac{d k}{d ω} = 2 \frac{ω}{c^{2}}

Vitesse de groupe :

V_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{c^{2}}{V_{φ}} = c \sqrt{1 - \frac{ω_{c}^{2}}{ω^{2}}}

2. Ondes électromagnétiques dans un plasma

a. Définition

b. L'ionosphère

c. Plasma neutre de faible densité

d. Équation de propagation

e. Relation de dispersion

f. Onde progressive

g. Onde évanescente

Si $ω < ω_{c}$ :

k = \pm i \frac{\sqrt{ω_{c}^{2} - ω^{2}}}{c} = \pm i \frac{1}{δ}

Solution plane monochromatique (non progressive) :

E_{x} (z, t) = E_{1} e^{- \frac{z}{δ}} cos (ω t) + E_{2} e^{\frac{z}{δ}} cos (ω t)

O.P.P.M. incidente se propageant verticalement depuis le sol (milieu assimilé au vide).

$δ$ très petit devant l'épaisseur de l'ionosphère. On garde seulement le terme décroissant :

E_{x} (z, t) = E_{1} e^{- \frac{z}{δ}} cos (ω t)

Onde stationnaire évanescente : l'onde ne se propage pas dans l'ionosphère.

$ω_{c}$ : pulsation de coupure d'un filtre passe-haut.

Aucune dissipation dans le plasma. Toute la puissance incidente est réfléchie : réflexion totale.

Simulation Réflexion d'une onde monochromatique sur un plasma.

Simulation Réflexion de paquets d'ondes sur un plasma.

2. Ondes électromagnétiques dans un plasma

a. Définition

b. L'ionosphère

c. Plasma neutre de faible densité

d. Équation de propagation

e. Relation de dispersion

f. Onde progressive

g. Onde évanescente

h. Application

Utilisation de l'ionosphère pour réfléchir les ondes de fréquence inférieure à 9 MHz (en journée).

Transmission terre-satellite : $f ≫ 10 M H z$ .

Ondes électromagnétiques dans un milieu dispersif