Échelles de longueur :
Simulation montrant le passage du microscopique au mésoscopique.
Densité volumique de charges
Quantité de charge dans le volume élémentaire
Quantité de charge dans un volume V :
Intégrale de la densité de charges sur le volume.
Distribution volumique de charges : distribution définie par une densité volumique de charges
Distribution dite « continue » par opposition aux distributions « discrètes » (charges ponctuelles).
La densité est continue par morceaux dans l'espace.
Théorème de Gauss pour une surface fermée
Sphère de centre
Coordonnées sphériques de centre O :
Quantité de charge totale :
Point
Le vecteur
La distribution est invariante par rotation autour de toute droite passant par O donc :
Surface fermée pour appliquer le théorème de Gauss : sphère de centre
Pour un point
Champ identique à celui créé par une charge ponctuelle placée en
Volume de la couche comprise entre
Pour un point
Dans la sphère (
Continuité de
Au centre de la sphère :
Analogie avec le champ gravitationnel :
Théorème de Gauss :
Théorème : le champ
Charges localisées au voisinage de la surface d'un conducteur
Quantité de charge portée par une surface élémentaire
Si
Distribution surfacique de charges : la charge est répartie sur une ou plusieurs surfaces et définie par une densité
surfacique
Remarque :
Le champ
Le plan
Point
Le vecteur
Une distribution de charges est invariante par translation dans la direction
Le champ électrostatique est alors invariant par translation :
Le plan chargé est invariant par translation dans les directions
Le plan
Surface fermée :
Théorème de Gauss
Champ électrostatique créé par le plan infini chargé :
Sur le plan chargé (plan de symétrie) :
Discontinuité sur la surface chargée.
Condensateur : deux conducteurs métalliques auxquels une différence de potentiel est appliquée.
Modèle du condensateur plan infini, valable si
Superposition de deux plans chargés :
Circulation du champ électrostatique :
Plaques d'aire
Capacité du condensateur :
Potentiel (
Condensateur de taille finie :
Fil de rayon
Courbe chargée si
Coordonnées cylindriques
Plans de symétrie :
Le vecteur
Invariance par translation selon
Invariance par rotation autour de (Oz):
Surface fermée S : cyclindre de révolution de rayon
Théorème de Gauss :
Discontinuité de
Opérateur divergence, agissant sur un champ vectoriel :
Autre notation (opérateur nabla) :
Divergence en coordonnées cylindriques :
Divergence en coordonnées sphériques :
Le flux sortant d'un vecteur à travers une surface fermée est égal à l'intégrale de sa divergence dans le volume délimité par la surface :
Surface fermée
D'après le théorème d'Ostrogradsky, pour tout volume
Forme locale du théorème de Gauss :
En coordonnées cartésiennes :
Si la densité
Dans le vide
La forme locale n'est pas utilisable (discontinuité de
Convention du trièdre direct.
Orientation des angles dans l'espace.
Base orthonormée directe
Produits vectoriels :
Produit vectoriel de deux vecteurs :
Opérateur rotationnel, agissant sur un champ vectoriel :
Orientation de la surface par rapport au contour.
La circulation d'un vecteur sur une courbe fermée orientée est égale au flux de son rotationnel sur une surface délimitée par la courbe :
Propositions équivalentes pour le champ électrostatique
Pour toute courbe fermée
D'après le théorème de Stokes, pour toute surface ouverte
Forme locale de la conservation de la circulation :
Lois de l'électrostatique :
Équation aux dérivées partielles pour le potentiel :
Laplacien d'un champ scalaire :
Autre notation :
En coordonnées cartésiennes :
Laplacien en coordonnées cylindriques :
Laplacien en coordonnées sphériques :
Équation de Poisson de l'électrostatique :
Problème d'électrostatique avec deux conducteurs dans le vide
Dans le vide
Conditions limites :
Solution unique
Champ électrostatique