Électrostatique

Charges ponctuelles

$\def\vect#1{{\overrightarrow{#1}}}$ Champ électrostatique Loi de Coulomb

Loi de Coulomb : force exercée par une charge ponctuelle fixe sur une charge ponctuelle fixe :

{\vec{F}}_{1 \to 2} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1} q_{2}}{{(P_{1} P_{2})}^{2}} {\vec{u}}_{12}

Permittivité électrique du vide :

ε_{0} \approx 8, 85 \cdot 1 0^{- 12} F \cdot m^{- 1}

Principe des actions réciproques (pas toujours vrai pour les forces électromagnétiques) :

{\vec{F}}_{2 \to 1} = - {\vec{F}}_{1 \to 2}

Autre écriture :

{\vec{F}}_{1 \to 2} = \frac{q_{1} q_{2}}{4 π ε_{0}} \frac{\vec{P_{1} P_{2}}}{{(P_{1} P_{2})}^{3}}

Principe de superposition : action de deux charges fixes $q_{1}$ et $q_{2}$ sur une charge fixe $q_{3}$

{\vec{F}}_{(1 + 2) \to 3} = {\vec{F}}_{1 \to 3} + {\vec{F}}_{2 \to 3}

La force d'une charge sur une autre est indépendante de la présence d'autres charges.

Similitude avec la force gravitationnelle (loi de Newton).

La force électrostatique est :

attractive si $q_{1} q_{2} < 0$
répulsive si $q_{1} q_{2} > 0$

Champ électrostatique

Champ électrostatique en un point $M$ de l'espace :

\vec{E} (M)

À tout point de l'espace est associé un vecteur $\vec{E}$ .

Force exercée sur une charge $q$ placée en P par toutes les autres charges :

\vec{F} = q \vec{E} (P)

Champ électrostatique créé par un ensemble de N charges ponctuelles $(q_{1}, q_{2}, \dots, q_{N})$ placées aux points $(P_{1}, P_{2}, \dots, P_{N})$ :

\vec{E} (M) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \sum_{i = 1}^{N} q_{i} \frac{\vec{P_{i} M}}{{(P_{i} M)}^{3}}

Le champ électrostatique est le champ électrique créé par des charges fixes dans le référentiel.

Lignes de champ

Ligne de champ : courbe telle que en tout point M de cette courbe, le champ électrostatique $\vec{E} (M)$ est tangent à la courbe. La ligne est orientée par le sens du champ.

Abscisse curviligne $\ell$ le long d'une ligne de champ depuis un point initial.

Vecteur tangent unitaire :

$$\vect{t}=\frac{d\vect{OM}}{d\ell}$$

Si le champ en tout point d'un plan est contenu dans ce plan, il est possible de représenter les lignes de champ dans ce plan.

Lignes du champ créé par une charge ponctuelle, dans un plan contenant la charge :

Lignes du champ créé par deux charges opposées, dans un plan contenant les deux charges :

Caractère polaire des lignes de champ électrostatique : elles partent des charges positives et vont jusqu'aux charges négatives (ou bien à l'infini).

Pour tracer les lignes de champ de différentes distributions de charges ponctuelles : charges ponctuelles.

Plan de symétrie

Le plan $Π_{s}$ est un plan de symétrie d'une distribution de charges si pour toute charge $q_{i}$ située au point $P_{i}$ , la distribution contient aussi une charge $q_{i}$ située au point $P'_{i}$ , symétrique de $P_{i}$ par rapport au plan.

Champ créé par une paire de charges symétriques :

Un plan de symétrie d'une distribution de charges est un plan de symétrie du champ électrostatique, c.-à-d. pour tout point M, le champ en un point M' symétrique de M par rapport au plan vérifie :

\begin{matrix} {\vec{E}}_{⊥} (M') = - {\vec{E}}_{⊥} (M) \\ {\vec{E}}_{∥} (M') = {\vec{E}}_{∥} (M) \end{matrix}

Deux charges ponctuelles identiques

Cas d'un point M situé sur un plan de symétrie :

\begin{matrix} {\vec{E}}_{⊥} (M) = - {\vec{E}}_{⊥} (M) \\ {\vec{E}}_{∥} (M) = {\vec{E}}_{∥} (M) \end{matrix}

Si aucune charge n'est présente en M :

{\vec{E}}_{⊥} (M) = \vec{0}

Sur un plan de symétrie du champ, celui-ci est contenu dans le plan.

Plan d'antisymétrie

Le plan $Π_{a}$ est un plan d'antisymétrie d'une distribution de charges si pour toute charge $q_{i}$ située au point $P_{i}$ , la distribution contient une charge $- q_{i}$ située au point $P'_{i}$ , symétrique de $P_{i}$ par rapport au plan.

Champ créé par une paire de charges anti-symétriques

Un plan d'antisymétrie d'une distribution de charges est un plan d'antisymétrie du champ électrostatique, c.-à.-d. pour tout point M, le champ en un point M' symétrique de M par rapport au plan vérifie :

\begin{matrix} {\vec{E}}_{⊥} (M') = {\vec{E}}_{⊥} (M) \\ {\vec{E}}_{∥} (M') = - {\vec{E}}_{∥} (M) \end{matrix}

Deux charges ponctuelles opposées

Cas d'un point M situé sur un plan d'antisymétrie

\begin{matrix} {\vec{E}}_{⊥} (M) = {\vec{E}}_{⊥} (M) \\ {\vec{E}}_{∥} (M) = - {\vec{E}}_{∥} (M) \end{matrix}

Si aucune charge n'est présente en M :

{\vec{E}}_{∥} (M) = \vec{0}

Sur un plan d'antisymétrie du champ, celui-ci est orthogonal au plan.

Invariance par rotation

Une distribution de charges est invariante par rotation autour d'une droite (Oz) si une rotation d'un angle $θ$ quelconque autour de cet axe ne modifie par la distribution.

Si une distribution de charges est invariante par rotation autour d'un axe, le champ électrostatique est invariant par rotation autour de cet axe.

Invariance par rotation du champ exprimée en coordonnées cylindriques par rapport à l'axe :

\begin{matrix} E_{r} (r, z) \\ E_{θ} (r, z) \\ E_{z} (r, z) \end{matrix}

Attention : le vecteur $\vec{E}$ dépend de $θ$ mais pas ses composantes sur la base cylindrique.

Exemple : distribution constituée de deux charges ponctuelles, invariance par rotation autour de la droite contenant les deux charges.

Potentiel électrostatique Circulation du champ électrostatique

Courbe orientée reliant deux points A et B

Circulation du champ $\vec{E}$ sur une courbe orientée C

\int_{C} \vec{E} (M) \cdot \vec{t} (M) d l

Autre notation du déplacement élémentaire :

\vec{t} (M) d l = d \vec{O M} = d \vec{r}

Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

\int_{C} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \frac{q_{1}}{4 π ε_{0}} \int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{d r}{r^{2}} = \frac{q_{1}}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{b}})

La circulation du champ électrostatique entre deux points A et B ne dépend que de ces points, pas de la courbe suivie.

Conséquence : la circulation du champ électrostatique sur une courbe fermée est nulle

\oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} d l = 0

Travail de la force électrostatique sur une charge se déplaçant du point A au point B :

W_{A B} = q \int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{r}

La force électrostatique est conservative.

Potentiel électrostatique

Potentiel électrostatique associé au champ créé par une charge ponctuelle $q_{1}$ située au point $P_{1}$ :

V (M) = \int_{M}^{\infty} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1}}{P_{1} M}

Par convention, le potentiel est nul à distance infinie de la charge.

Le potentiel est un champ scalaire.

L'unité s.i. du potentiel est le Volt.

\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{r} = \int_{A}^{\infty} \vec{E} \cdot d \vec{r} + \int_{\infty}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{r} = - (V (B) - V (A))

Potentiel électrostatique créé par une distribution de charges ponctuelles :

V (M) = \frac{1}{4 π ε_{0}} \sum_{i = 1}^{N} \frac{q_{i}}{P_{i} M}

La circulation du champ électrostatique entre deux points est égale à l'opposée de la différence de potentiel entre ces deux points :

\int_{A}^{B} \vec{E} \cdot d \vec{r} = - (V (B) - V (A))

Énergie potentielle de la force électrostatique agissant sur une charge ponctuelle :

E_{p} (M) = q V (M)

Travail de la force :

W_{A B} = - Δ E_{p} = - q (V (B) - V (A))

Théorème de l'énergie cinétique (en l'absence d'autres forces) :

\begin{matrix} Δ E_{c} = W_{A B} \\ Δ (E_{c} + E_{p}) = 0 \end{matrix}

Opérateur gradient

Opérateur gradient, agissant sur un champ scalaire $f (x, y, z)$ :

\vec{g r a d} (f) = \frac{\partial f}{\partial x} {\vec{u}}_{x} + \frac{\partial f}{\partial y} {\vec{u}}_{y} + \frac{\partial f}{\partial z} {\vec{u}}_{z}

Autre notation (opérateur nabla) :

\vec{g r a d} (f) = \vec{\nabla} f

Circulation du champ électrostatique sur un segment élémentaire :

\begin{matrix} \vec{E} \cdot d \vec{r} & = - d V \\ E_{x} d x + E_{y} d y & = - (V (x + d x, y + d y) - V (x, y)) \\ = - \frac{\partial V}{\partial x} d x - \frac{\partial V}{\partial y} d y \end{matrix}

Le champ électrostatique dérive du potentiel :

\begin{matrix} \vec{E} & = - \frac{\partial V}{\partial x} {\vec{u}}_{x} - \frac{\partial V}{\partial y} {\vec{u}}_{y} - \frac{\partial V}{\partial z} {\vec{u}}_{z} \\ = - \vec{g r a d} (V) \end{matrix}

Relation entre l'énergie potentielle et la force :

\begin{matrix} \vec{F} & = - \vec{g r a d} (E_{p}) \\ q \vec{E} & = - q \vec{g r a d} (V) \end{matrix}

L'ajout d'une constante au potentiel ne modifie pas le champ :

- \vec{g r a d} (V + V_{o}) = - \vec{g r a d} (V)

Gradient en coordonnées cylindriques :

\vec{g r a d} (V) = \frac{\partial V}{\partial r} {\vec{u}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} {\vec{u}}_{θ} + \frac{\partial V}{\partial z} {\vec{u}}_{z}

Gradient en coordonnées sphériques :

\vec{g r a d} (V) = \frac{\partial V}{\partial r} {\vec{u}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} {\vec{u}}_{θ} + \frac{1}{r sin θ} \frac{\partial V}{\partial φ} {\vec{u}}_{φ}

Théorème du gradient :

\int_{A}^{B} \vec{g r a d} (f) \cdot d \vec{r} = \int_{A}^{B} d f = f (B) - f (A)

Surfaces équipotentielles

Surface équipotentielle : ensemble des points de l'espace qui ont la même valeur du potentiel.

Équation implicite :

V (x, y, z) = V_{i}

Surface équipotentielle $Σ$ . Vecteur $\vec{t}$ tangent à la surface au point M.

\vec{E} (M) \cdot \vec{t} d l = - d V = 0

$\vec{E} (M)$ est orthogonal à la surface.

Les surfaces équipotentielles sont coupées perpendiculairement par les lignes du champ électrostatique.

Au voisinage d'une charge ponctuelle $q_{i}$ :

V (M) \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{i}}{P_{i} M}

Les surfaces équipotentielles sont des sphères centrées sur la charge et les lignes de champs sont radiales.

Distribution monopolaire

Distribution de charges dont la quantité de charge totale est non nulle

Q = \sum_{i = 1}^{N} q_{i}

Si $r ≫ a$ alors $P_{i} M \approx r$ et :

V (M) \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{Q}{r}

Une distribution monopolaire génère, à grande distance, un champ électrostatique quasi identique à celui d'une charge ponctuelle.

Théorème de Gauss Flux du champ électrique

Flux du champ électrique à travers une surface orientée

Φ_{S} (\vec{E}) = \iint_{S} \vec{E} (M) \cdot \vec{n} (M) d S

Surfaces fermées avec une normale orientée dans le sens sortant :

Théorème de Gauss

Le flux sortant du champ électrique à travers une surface fermée est égal à la somme des quantités de charge à l'intérieur de la surface divisée par la permittivité du vide :

\iint_{S} \vec{E} (M) \cdot \vec{n_{s}} (M) d S = \frac{1}{ε_{0}} \sum_{i} q_{i}^{i n t}

Tube de champ

Tube de champ : surface engendrée par des lignes de champ. Le champ électrique est tangent en tout point à la surface.

Exemple de tube de champ

Tube de champ délimité par $S_1$ et $S_2$ :

$S_{1}$ et $S_{2}$ : surfaces traversées par des lignes de champ.

$S_{L}$ : surface latérale (tube de champ).

Hypothèse : pas de charge dans la surface fermée $S = S_{1} \cup S_{L} \cup S_{2}$ .

\iint_{S_{1}} \vec{E} \cdot {\vec{n}}_{s} d S + \iint_{S_{2}} \vec{E} \cdot {\vec{n}}_{s} d S = 0

Normales ${\vec{n}}_{1}$ et ${\vec{n}}_{2}$ orientées dans le même sens (sens du champ ou sens opposé au champ).

\iint_{S_{1}} \vec{E} \cdot {\vec{n}}_{1} d S = \iint_{S_{2}} \vec{E} \cdot {\vec{n}}_{2} d S

Conservation du flux le long d'un tube de champ.

Tube de champ de section infiniment petite, normales dans la direction et le sens du champ :

\begin{align*}&\vect E_1\cdot\vect n_1dS_1=\vect E_2\cdot\vect n_2dS_2\\&\Vert\vect E_1\Vert dS_1=\Vert\vect E_2\Vert dS_2\end{align*}

Si les lignes de champ s'écartent, la norme du champ électrique est décroissante dans la direction de l'écartement.

Si les lignes de champ sont parallèles, la norme du champ est constante le long d'une ligne de champ.

Si les lignes de champs sont parallèles alors le champ est uniforme : à démontrer avec la conservation du flux et la conservation de la circulation.

Dipôle électrostatique Définition

Un dipôle est une distribution de charges dont la quantité de charge totale est nulle ( $Q = 0$ ) et dont le moment dipolaire

\vec{p} = \sum_{i = 1}^{N} q_{i} \vec{O P_{i}}

est non nul ( $\vec{p}$ est indépendant du point origine O).

Exemple : doublet de charges -q au point A et q au point B :

\vec{p} = q \vec{A B}

Approximation dipolaire : $r ≫ a$

Le dipôle est équivalent à un doublet de même moment dipolaire.

Dipôle moléculaire

Molécule dipolaire

$\vec{p} = e δ \vec{O H_{1}} + e δ \vec{O H_{2}}$

p = 1, 85 D

Debye : $1 D = \frac{1}{3} 1 0^{- 29} C \cdot m$ .

Champ créé par un dipôle

Potentiel créé par un doublet

V (M) = \frac{q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{B M} - \frac{1}{A M})

Coordonnées sphériques $M (r, θ, φ)$ .

\begin{matrix} B M^{- 1} = \frac{1}{r} (1 - \frac{a}{r} cos (θ) + \frac{1}{4} (\frac{a}{r})^{2})^{- \frac{1}{2}} \\ A M^{- 1} = \frac{1}{r} (1 + \frac{a}{r} cos (θ) + \frac{1}{4} (\frac{a}{r})^{2})^{- \frac{1}{2}} \end{matrix}

Approximation dipolaire : $r ≫ a$ , D.L. à l'ordre 1 :

V (r, θ) \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{p cos θ}{r^{2}}

Le potentiel décroît en $1 / r^{2}$ , plus vite que pour un monopôle ( $1 / r$ ).

Champ électrostatique créé par un dipôle à grande distance :

\begin{matrix} E_{r} = - \frac{\partial V}{\partial r} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{2 p cos θ}{r^{3}} \\ E_{θ} = - \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{p sin θ}{r^{3}} \end{matrix}

Le champ décroît en $1 / r^{3}$ , plus vite que pour un monopôle ( $1 / r^{2}$ ).

Action d'un champ électrostatique

Hypothèse : le dipôle est un système de charges rigidement liées (molécule indéformable). Le système rigide peut tourner ou se déplacer dans un champ électrostatique extérieur ${\vec{E}}_{e}$ (champ créé par d'autres charges).

Action d'un champ uniforme sur un doublet

Résultante : $\vec{F} = \vec{0}$

Moment :

\vec{Γ} = \vec{P B} \land (q {\vec{E}}_{e}) + \vec{P A} \land (- q {\vec{E}}_{e}) = \vec{p} \land {\vec{E}}_{e}

Potentiel pour le champ extérieur uniforme :

V_{e} (x) = - x E_{e}

Énergie potentielle du dipôle dans le champ :

\begin{matrix} E_{p} & = q V_{e} (B) - q V_{e} (A) \\ = - q (x_{B} - x_{A}) E_{e} \\ = - q \vec{A B} \cdot \vec{E_{e}} \\ = - \vec{p} \cdot \vec{E_{e}} \end{matrix}

Angle $α$ entre $\vec{p}$ et ${\vec{E}}_{e}$

\begin{matrix} \vec{Γ} = - p E_{e} sin (α) {\vec{u}}_{z} \\ E_{p} = - p E_{e} cos (α) \end{matrix}

Angle d'équilibre stable : $α = 0$ , $\vec{p}$ et ${\vec{E}}_{e}$ parallèles.

Angle d'équilibre instable : $α = π$ , $\vec{p}$ et ${\vec{E}}_{e}$ antiparallèles.

Action d'un champ non uniforme

Énergie potentielle pour un dipôle situé au point P :

E_{p} = - \vec{p} \cdot {\vec{E}}_{e} (P)

Position du dipôle $P (x, y, z)$

Résultante des forces :

\vec{F} = - \vec{g r a d} (E_{p}) = \vec{g r a d} (\vec{p} \cdot {\vec{E}}_{e})

Résultante pour un dipôle aligné avec le champ ( $α = 0$ ) :

$$\vect F=p\,\,\vect{grad}(\Vert\vect{E_e}\Vert)$$

Force dirigée vers la région de champ fort.

Exemple : force entre deux dipôles