Magnétostatique

1. Courant électrique

a. Flux de charge

Courant électrique unidirectionnel, avec deux types de porteurs de charge, en mouvement sous l'effet d'un champ électrique $\vec{E}$ :

Porteurs de charge $q_{+} > 0$ , de vitesse moyenne ${\vec{V}}_{+}$ , de densité $n_{+}$ .
Porteurs de charge $q_{-} < 0$ , de vitesse moyenne ${\vec{V}}_{-}$ , de densité $n_{-}$ .

Densité volumique de charges dans le conducteur :

ρ = q_{+} n_{+} + q_{-} n_{-}

Conducteur localement neutre : $ρ = 0$ .

L'intensité du courant électrique à travers une surface orientée est la quantité de charge qui traverse cette surface algébriquement dans le sens de sa normale, divisée par la durée du transfert :

I = \frac{δ Q}{d t}

$I$ est un flux de quantité de charges, analogue au flux thermique.

Unité : $C\cdot s^{-1}=A$.

Nombre de porteurs positifs qui franchissent la surface S dans le sens de $\vec{n}$ :

n_{+} V_{+} Δ t S

Nombre (algébrique) de porteurs négatifs qui franchissent la surface S dans le sens de $\vec{n}$ :

- n_{-} V_{-} Δ t S

Flux de charge :

I = q_{+} n_{+} V_{+} S - q_{-} n_{-} V_{-} S

I = (q_{+} n_{+} {\vec{V}}_{+} \cdot {\vec{u}}_{x} + q_{-} n_{-} {\vec{V}}_{-} \cdot {\vec{u}}_{x}) S

Densité de courant volumique : intensité par unité de surface

j_{x} = q_{+} n_{+} {\vec{V}}_{+} \cdot {\vec{u}}_{x} + q_{-} n_{-} {\vec{V}}_{-} \cdot {\vec{u}}_{x}

Simulation d'un flux de particules à l'échelle mésoscopique.

1. Courant électrique

a. Flux de charge

b. Vecteur densité de courant

Vecteur densité de courant volumique $\vec{j}$ défini à l'échelle mésoscopique : direction du mouvement des porteurs et sens de déplacement des porteurs positifs.

Champ vectoriel à l'échelle macroscopique :

\vec{j} (x, y, z, t)

Lignes de courant électrique : lignes de champs de $\vec{j}$

Intensité du courant à travers la surface élémentaire $d S$ orientée :

d I = \vec{j} (P) \cdot \vec{n} d S

Intensité du courant électrique à travers une surface orientée $S$ : flux du vecteur densité de courant

I = \iint_{S} \vec{j} \cdot \vec{n} d S

Densité de courant volumique en fonction des vitesses moyennes des porteurs :

\vec{j} = q_{+} n_{+} {\vec{V}}_{+} + q_{-} n_{-} {\vec{V}}_{-}

Courant électrique stationnaire : le vecteur densité de courant est indépendant du temps

\vec{j} (x, y, z)

1. Courant électrique

a. Flux de charge

b. Vecteur densité de courant

c. Loi d'Ohm

Dans un conducteur immobile, les porteurs de charge se déplacent à cause du champ électrique.

Loi d'Ohm locale :

\vec{j} = γ \vec{E}

$γ$ : conductivité électrique ( $Ω^{- 1} \cdot m^{- 1} = S \cdot m^{- 1}$ ).

Analogie entre la loi d'Ohm et la loi de Fourier :

\vec{j} = - γ \vec{g r a d} V

{\vec{j}}_{t h} = - λ \vec{g r a d} T

\begin{matrix} γ (S \cdot m^{- 1}) \\ A r g e n t & 6, 8 \cdot 1 0^{7} \\ C u i v r e & 5, 8 \cdot 1 0^{7} \\ O r & 4, 2 \cdot 1 0^{7} \\ F e r & 9, 9 \cdot 1 0^{6} \\ G r a p h i t e & 1, 0 \cdot 1 0^{5} \\ G e r m a n i u m & 1, 4 \\ S i l i c i u m & 2, 5 \cdot 1 0^{- 4} \\ V e r r e & 1 \cdot 1 0^{- 13} \end{matrix}

1. Courant électrique

a. Flux de charge

b. Vecteur densité de courant

c. Loi d'Ohm

d. Courant uniforme

Courant stationnaire dans un conducteur cylindrique : densité de courant uniforme.

Intensité du courant à travers une section droite orientée :

I = S j = S γ E

Différence de potentiel entre deux points :

V (A) - V (B) = U = E L

Loi d'Ohm :

U = \frac{L}{S γ} I

Résistance électrique d'un conducteur cylindrique de longueur $L$ , de section droite d'aire $S$ , parcouru par un courant uniforme :

R = \frac{L}{S γ}

1. Courant électrique

a. Flux de charge

b. Vecteur densité de courant

c. Loi d'Ohm

d. Courant uniforme

e. Courant stationnaire dans un circuit

Circuit filiforme parcouru par un courant stationnaire. Orientation de la courbe.

Vecteur densité de courant :

\vec{j} = j \vec{t}

Intensité du courant à travers une section du fil orientée par $\vec{t}$ :

I = S j

$S$ : aire de la section droite. L'intensité du courant est la même en tout point du circuit (vrai aussi en régime quasi stationnaire).

2. Champ magnétostatique

a. Force magnétique

Action d'une charge sur une autre

${\vec{E}}_{1}, {\vec{B}}_{1}$ champs électrique et magnétique créés par la charge $q_{1}$ .

Force électromagnétique (Lorentz) :

\vec{F} = q ({\vec{E}}_{1} + \vec{V} \land {\vec{B}}_{1})

Champ magnétostatique : champ magnétique statique, créé par les charges en mouvement d'un courant électrique stationnaire.

\vec{B} (x, y, z)

Un circuit parcouru par un courant électrique stationnaire génère dans l'espace un champ magnétostatique $\vec{B}$

Force magnétique sur une charge en mouvement :

\vec{F} = q \vec{V} \land \vec{B}

Action d'un circuit sur un autre

Force magnétique (force de Laplace) sur un élément de circuit ${\vec{d ℓ}}_{2} = d ℓ_{2} {\vec{t}}_{2}$ :

d {\vec{F}}_{2} = I_{2} d {\vec{ℓ}}_{2} \land {\vec{B}}_{1}

Force magnétique $\vec{F} = q \vec{V} \land \vec{B}$ .

Le sens du produit vectoriel dépend de la convention du trièdre direct. Le sens de la vitesse et de la force ne dépendent pas de cette convention.

Conséquence : le sens du champ magnétique dépend de la convention du trièdre direct.

Un vecteur est polaire si son sens ne dépend pas de la convention du trièdre direct. Il est axial si son sens dépend de cette convention.

\begin{matrix} p o l a i r e & a x i a l e \\ \vec{F} & \vec{O M} \land \vec{F} \\ \vec{v} & \vec{O M} \land \vec{v} \\ \vec{Ω} \\ \vec{E} & \vec{B} \\ \vec{j} & \vec{m} \\ d i v \vec{E} & \vec{r o t} \vec{E} \end{matrix}

2. Champ magnétostatique

a. Force magnétique

b. Théorème d'Ampère

Courant enlacé par une courbe fermée orientée

Intensités enlacées : $I_{1} = 0, I_{2} = I, I_{3} = - I$

Intensité du courant enlacé par une courbe fermée orientée C délimitant une surface S :

I_{e} = \iint_{S} \vec{j} \cdot \vec{n} d S

$I_{e}$ ne dépend que de la courbe C pour un courant stationnaire.

Théorème d'Ampère : la circulation du champ magnétostatique sur une courbe fermée orientée est égale à l'intensité du courant enlacé par cette courbe multipliée par la perméabilité magnétique du vide :

\oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} d l = μ_{0} I_{e}

μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} N \cdot A^{- 2}

Courbe C délimitant une surface S

\oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} d l = μ_{0} \iint_{S} \vec{j} \cdot \vec{n} d S

Vrai aussi en régime quasi stationnaire.

2. Champ magnétostatique

a. Force magnétique

b. Théorème d'Ampère

c. Principe de superposition

Champ ${\vec{B}}_{1}$ créé par un courant ${\vec{j}}_{1}$

Champ ${\vec{B}}_{2}$ créé par un courant ${\vec{j}}_{2}$

Le courant $\vec{j} = a {\vec{j}}_{1} + b {\vec{j}}_{2}$ crée un champ $\vec{B} = a {\vec{B}}_{1} + b {\vec{B}}_{2}$

2. Champ magnétostatique

a. Force magnétique

b. Théorème d'Ampère

c. Principe de superposition

d. Conservation du flux magnétique

Le flux du champ magnétique à travers une surface fermée est nul :

\iint_{f e r m e e} \vec{B} \cdot \vec{n} d S = 0

Vrai pour tout champ magnétique (statique ou pas).

Deux surfaces délimitées par la même courbe fermée

\iint_{S_{1}} \vec{B} \cdot \vec{n'_{1}} d S_{1} + \iint_{S_{2}} \vec{B} \cdot \vec{n_{2}} d S_{2} = 0

Flux magnétique à travers une courbe fermée :

Φ_{C} = \iint_{S_{1}} \vec{B} \cdot \vec{n_{1}} d S_{1} = \iint_{S_{2}} \vec{B} \cdot \vec{n_{2}} d S_{2}

$\vec{B}$ est le vecteur densité de flux magnétique.

2. Champ magnétostatique

a. Force magnétique

b. Théorème d'Ampère

c. Principe de superposition

d. Conservation du flux magnétique

e. Plans de symétrie et d'antisymétrie

Un plan de symétrie de la distribution de courants est un plan de symétrie de la densité de courant : pour toute paire de points symétriques (M,M')

\begin{matrix} {\vec{j}}_{⊥} (M') = - {\vec{j}}_{⊥} (M) \\ {\vec{j}}_{∥} (M') = {\vec{j}}_{∥} (M) \end{matrix}

$\vec{j}$ est un vecteur polaire.

Produit vectoriel de deux vecteurs polaires symétriques

Le champ magnétique est un vecteur axial.

Un plan de symétrie de la distribution de courants est un plan d'antisymétrie du champ magnétique.

Si le point M appartient à un plan de symétrie du courant alors $\vec{B} (M)$ est orthogonal à ce plan.

Un plan d'antisymétrie de la distribution de courants est un plan de symétrie du champ magnétique.

Si le point M appartient à un plan d'antisymétrie du courant alors $\vec{B} (M)$ est contenu dans ce plan.

2. Champ magnétostatique

a. Force magnétique

b. Théorème d'Ampère

c. Principe de superposition

d. Conservation du flux magnétique

e. Plans de symétrie et d'antisymétrie

f. Invariances

Si une distribution de courants est invariante par rotation ou par translation alors le champ magnétique possède la même invariance.

3. Exemples de champ magnétique

a. Fil rectiligne infini

Coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ .

Pour tout point M, plan de symétrie du courant $(M, {\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{z})$ : plan d'antisymétrie de $\vec{B}$ .

Plan d'antisymétrie du courant $(M, {\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ})$ : plan de symétrie de $\vec{B}$ .

Invariance par rotation autour de l'axe $(O z)$ , invariance par translation selon ${\vec{u}}_{z}$ .

\vec{B} = B_{θ} (r) {\vec{u}}_{θ}

Lignes de champ : cercles centrés sur le fil.

Courbe C fermée orientée : cercle de centre H et de rayon r, théorème d'Ampère :

\oint_{C} \vec{B} \cdot {\vec{u}}_{θ} d l = μ_{0} I

B_{θ} (r) = \frac{μ_{0} I}{2 π r}

3. Exemples de champ magnétique

a. Fil rectiligne infini

b. Force entre deux fils

Force exercée par le fil 1 sur une longueur a du fil 2 :

F_{2} = \frac{μ_{0}}{2 π} \frac{a I_{1} I_{2}}{d}

Deux courants de même sens s'attirent.

Expériences d'Ampère.

3. Exemples de champ magnétique

a. Fil rectiligne infini

b. Force entre deux fils

c. Solénoïde

Solénoïde : fil enroulé sur un cylindre de révolution.

Coordonnées cylindriques.

Pour tout point M, le plan $(M, {\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{z})$ est un plan d'antisymétrie du courant : plan de symétrie de $\vec{B}$ .

Invariance par rotation autour de $(O z)$ .

\vec{B} = B_{z} (r, z) {\vec{u}}_{z} + B_{r} (r, z) {\vec{u}}_{r}

Modèle du solénoïde infini : n spires par unité de longueur, champ nul à l'extérieur.

Pour tout point M, le plan $(M, {\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ})$ est un plan de symétrie du courant : plan d'antisymétrie de $\vec{B}$ .

Invariance par translation selon ${\vec{u}}_{z}$ .

\vec{B} = B_{z} (r) {\vec{u}}_{z}

Courbe fermée orientée : rectangle $(A, B, C, D)$ dans un plan méridien, traversant le solénoïde.

Théorème d'Ampère :

\begin{matrix} \int_{A}^{B} \vec{B} \cdot {\vec{u}}_{z} d l = μ_{0} L n I \\ B_{z} = μ_{0} n I = μ_{0} \frac{N}{ℓ} I \end{matrix}

Le champ est uniforme à l'intérieur du solénoïde.

3. Exemples de champ magnétique

a. Fil rectiligne infini

b. Force entre deux fils

c. Solénoïde

d. Bobine plate

$N$ spires de rayon $R$ parcourues par un courant d'intensité $I$.

Longueur $\ell <\frac{R}{10}$.

Axe $(Oz)$, coordonnées cylindriques.

\vec{B} = B_{r} (r, z) {\vec{u}}_{r} + B_{z} (r, z) {\vec{u}}_{z}

La bobine plate est quasi équivalente à une spire parcourue par un courant d'intensité $NI$.

4. Dipôle magnétique

a. Définition

Un dipôle magnétique (macroscopique) est un courant électrique formant un circuit fermé, dont la taille est très petite par rapport à la distance considérée.

Moment dipolaire d'un circuit plan défini par une courbe orientée parcourue par un courant d'intensité $I$ , d'aire $S$ et de normale $\vec{n}$ :

\vec{m} = I S \vec{n}

Vecteur axial.

Moment dipolaire d'un solénoïde d'axe $(Oz)$ :

\vec{m} = I N S {\vec{u}}_{z}

Approximation dipolaire : $r ≫ a$ .

Un dipôle magnétique est équivalent à une spire circulaire de rayon $a$ et de même moment dipolaire :

\vec{m} = I π a^{2} \vec{n}

4. Dipôle magnétique

a. Définition

b. Champ magnétostatique créé par un dipôle

Coordonnées sphériques :

\vec{B} = B_{r} (r, θ) {\vec{u}}_{r} + B_{θ} (r, θ) {\vec{u}}_{θ}

Dans l'approximation dipolaire, le champ créé est similaire à celui d'un dipôle électrostatique :

\begin{matrix} B_{r} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{2 m cos θ}{r^{3}} \\ B_{θ} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{m sin θ}{r^{3}} \end{matrix}

4. Dipôle magnétique

a. Définition

b. Champ magnétostatique créé par un dipôle

c. Dipôles microscopiques

Un électron confiné dans un atome possède un moment magnétique orbital relié à son moment cinétique orbital :

\vec{m} = - \frac{e}{2 m_{e}} \vec{L}

Un électron possède un moment magnétique intrinsèque de spin, relié à son moment cinétique de spin :

{\vec{m}}_{s} = - g \frac{e}{2 m_{e}} \vec{S}

Facteur de Landé : $g \approx 2$ .

4. Dipôle magnétique

a. Définition

b. Champ magnétostatique créé par un dipôle

c. Dipôles microscopiques

d. Aimant permanent

Matériau ferromagnétique (Fe, Ni, Co) aimanté : les spins des électrons libres sont dans la même direction et dans le même sens :

Moment magnétique de l'aimant : $\vec{m} = N_{s} {\vec{m}}_{s}$

Barreau aimanté cylindre de révolution : équivalent à un solénoïde de même taille et de même moment magnétique.

Équivalent à un dipôle à grande distance.

4. Dipôle magnétique

a. Définition

b. Champ magnétostatique créé par un dipôle

c. Dipôles microscopiques

d. Aimant permanent

e. Champ magnétique terrestre

Composante horizontale en Bretagne :

B_{h} \approx 40 μ T

4. Dipôle magnétique

a. Définition

b. Champ magnétostatique créé par un dipôle

c. Dipôles microscopiques

d. Aimant permanent

e. Champ magnétique terrestre

f. Action d'un champ magnétostatique

Hypothèse : dipôle magnétique de moment $\vec{m}$ de norme constante, pouvant tourner et se déplacer dans un champ magnétostatique extérieur ${\vec{B}}_{e}$ .

Modélisation d'un dipôle par une spire : résultante et moment des forces de Laplace.

Les résultats sont généralisables aux dipôles microscopiques.

Dipôle dans un champ uniforme (aiguille de boussole) :

Moment des actions du champ sur le dipôle :

\vec{Γ} = \vec{m} \land {\vec{B}}_{e}

Résultante nulle.

Aiguille de boussole sur un pivot vertical sans frottement :

\frac{d^{2} θ}{d t^{2}} + \frac{m B_{e}}{J} sin (θ) = 0

Énergie potentielle d'un dipôle magnétique dans un champ extérieur :

E_{p} = - \vec{m} \cdot {\vec{B}}_{e}

Orientation d'équilibre stable : $\vec{m}$ et ${\vec{B}}_{e}$ parallèles.

Orientation d'équilibre instable : $\vec{m}$ et ${\vec{B}}_{e}$ antiparallèles.

Interaction dipolaire entre deux dipôles de positions fixées. Orientations d'équilibre :

Simulation d'un réseau de dipôles.

En l'absence de champ extérieur, le moment magnétique moyen est nul.

L'interaction dipolaire ne peut expliquer le ferromagnétisme.

Force dans un champ non uniforme :

\vec{F} = - \vec{g r a d} (E_{p}) = \vec{g r a d} (\vec{m} \cdot {\vec{B}}_{e})

Interaction entre deux dipôles

Forces entre deux aimants :

5. Équations locales

a. Conservation du flux magnétique

Surface S fermée quelconque :

∭_{V} d i v \vec{B} d v = \iint_{S} \vec{B} \cdot \vec{n} d S = 0

Forme locale de la conservation du flux, valable aussi en non stationnaire :

d i v \vec{B} = 0

5. Équations locales

a. Conservation du flux magnétique

b. Théorème d'Ampère

Courbe fermée orientée, théorème d'Ampère :

\oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} d l = μ_{0} \iint_{S} \vec{j} \cdot \vec{n} d S

D'après le théorème de Stokes :

\iint_{S} \vec{r o t} (\vec{B}) \cdot \vec{n} d S = μ_{0} \iint_{S} \vec{j} \cdot \vec{n} d S

pour toute surface S.

Forme locale du théorème d'Ampère, valable aussi en régime quasi stationnaire :

\vec{r o t} \vec{B} = μ_{0} \vec{j}