Maxwell

Équations de Maxwell

1. Champ électromagnétique

a. Définition

Champ électromagnétique dans un référentiel :

\begin{matrix} \vec{E} (x, y, z, t) \\ \vec{B} (x, y, z, t) \end{matrix}

Force de Lorentz sur une particule chargée en mouvement dans le référentiel :

\vec{F} = q (\vec{E} + \vec{v} \land \vec{B})

Sources du champ électromagnétique :

\begin{matrix} ρ (x, y, z, t) \\ \vec{j} (x, y, z, t) \end{matrix}

En régime variable, les champs électrique et magnétique sont couplés.

1. Champ électromagnétique

a. Définition

b. Puissance reçue par les charges

Forces électromagnétiques sur les porteurs de charge

\begin{matrix} {\vec{F}}_{+} = q_{+} (\vec{E} + {\vec{v}}_{+} \land \vec{B}) \\ {\vec{F}}_{-} = q_{-} (\vec{E} + {\vec{v}}_{-} \land \vec{B}) \end{matrix}

Puissance reçue par les charges par unité de volume

\begin{matrix} p & = n_{+} {\vec{F}}_{+} \cdot {\vec{v}}_{+} + n_{-} {\vec{F}}_{-} \cdot {\vec{v}}_{-} \\ = n_{+} q_{+} \vec{E} \cdot {\vec{v}}_{+} + n_{-} q_{-} \vec{E} \cdot {\vec{v}}_{-} \\ = \vec{j} \cdot \vec{E} \end{matrix}

La densité volumique de puissance reçue par les charges est :

p = \vec{j} \cdot \vec{E}

Dans un conducteur ohmique, la puissance reçue est dissipée (convertie en énergie interne) :

p = γ {\vec{E}}^{2}

2. Induction électromagnétique

a. Force électromotrice

Circuit électrique en régime quasi stationnaire

Circuit fixe assimilable à une courbe fermée

Puissance reçue par les charges sur une portion du circuit

d P = \vec{j} \cdot \vec{E} S d l = I \vec{t} \cdot \vec{E} d l

Puissance reçue dans le circuit complet :

P = I \oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} d l

Force électromotrice sur un circuit fixe fermé : circulation de la force par unité de charge

e = \oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} d l

Puissance reçue par les charges :

P = e I

Un champ électrostatique ne génère aucune force électromotrice.

Les charges mobiles, entraînées par le conducteur, subissent une force magnétique par unité de charge :

{\vec{V}}_{c} \land \vec{B}

Force électromotrice sur un circuit mobile :

e = \oint_{C} (\vec{E} + {\vec{V}}_{c} \land \vec{B}) \cdot \vec{t} d l

Loi d'Ohm locale :

\vec{j} = γ (\vec{E} + {\vec{V}}_{c} \land \vec{B})

2. Induction électromagnétique

a. Force électromotrice

b. Loi de Faraday

Flux magnétique à travers un circuit C délimitant une surface S:

Φ (t) = \iint_{S} \vec{B} \cdot \vec{n} d S

Causes de variations temporelles du flux :

Variation du champ magnétique.
Mouvement du circuit.

Induction électromagnétique, loi de Faraday

e (t) = - \frac{d Φ (t)}{d t}

Circuit immobile

\begin{matrix} \oint_{C} \vec{E} \cdot \vec{t} d l = - \frac{d}{d t} \iint_{S} \vec{B} \cdot \vec{n} d S \\ \iint_{S} (\vec{r o t} \vec{E}) \cdot \vec{n} d S = - \iint_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot \vec{n} d S \\ \iint_{S} (\vec{r o t} \vec{E} + \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}) \cdot \vec{n} d S = 0 \end{matrix}

pour toute surface S

Forme locale de la loi de Faraday :

\vec{r o t} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

Valable en tout point de l'espace.

En présence d'un champ magnétique variable, le champ électrique n'est pas conservatif (ne dérive pas d'un potentiel).

2. Induction électromagnétique

a. Force électromotrice

b. Loi de Faraday

c. Champ électrique induit

Solénoïde infini en régime quasi stationnaire

\vec{B} (t) = μ_{0} n I (t) {\vec{u}}_{z} = B_{z} (t) {\vec{u}}_{z}

$(M, {\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{z})$ : plan d'antisymétrie du courant électrique donc plan d'antisymétrie du champ électrique induit par la variation du courant.

Invariances par rotation et par translation.

\vec{E} = E_{θ} (r, t) {\vec{u}}_{θ}

Circulation de $\vec{E}$ sur le cercle de rayon $r$ , pour $r < a$ :

\begin{matrix} \oint_{C} E_{θ} (r) d l = - \frac{d}{d t} (B_{z} (t) π r^{2}) \\ E_{θ} (r, t) = - \frac{r}{2} \frac{d B_{z}}{d t} \end{matrix}

Pour $r > a$ :

\begin{matrix} \oint_{C} E_{θ} (r) d l = - \frac{d}{d t} (B_{z} (t) π a^{2}) \\ E_{θ} (r, t) = - \frac{a^{2}}{2 r} \frac{d B_{z}}{d t} \end{matrix}

3. Conservation de la charge

a. Principe

Dans un système fermé (sans échange de matière avec l'extérieur), la quantité de charge totale est constante au cours du temps.

Système ouvert délimité par une surface fermée S. Charge $Q (t)$ à l'intérieur.

\begin{matrix} \frac{d Q (t)}{d t} & = f l u x d e c h a r g e e n t r a n t \\ = - \iint_{S} \vec{j} \cdot {\vec{n}}_{s} d S \end{matrix}

3. Conservation de la charge

a. Principe

b. Forme locale

Courant électrique unidirectionnel

Quantité de charge entre $x$ et $x+dx$ :

δ Q = ρ (x, t) A d x

Conservation de la charge :

\begin{matrix} \frac{d (δ Q)}{d t} = j_{x} (x, t) A - j_{x} (x + d x, t) A \\ \frac{d ρ (x, t)}{d t} = \frac{j_{x} (x, t) - j_{x} (x + d x, t)}{d x} \\ \frac{\partial ρ}{\partial t} + \frac{\partial j_{x}}{\partial x} = 0 \end{matrix}

Équation locale de conservation de la charge : $\frac{\partial ρ}{\partial t} + d i v \vec{j} = 0$

3. Conservation de la charge

a. Principe

b. Forme locale

c. Régime quasi stationnaire

Approximation du régime quasi stationnaire (A.R.Q.S.)

Théorème d'Ampère :

\vec{r o t} \vec{B} \approx μ_{0} \vec{j}

La divergence d'un rotationnel est nulle :

d i v \vec{j} \approx 0

Contradiction entre le théorème d'Ampère et la conservation de la charge.

Conservation du courant électrique. Pour toute surface fermée :

\iint_{S} \vec{j} \cdot \vec{n} d S \approx 0

I_{1} = I_{2} + I_{3}

La variation de charge dans une surface fermée n'est pas toujours négligeable.

Condensateur :

4. Équations de Maxwell

\begin{matrix} d i v \vec{E} = \frac{ρ}{ε_{0}} \\ \vec{r o t} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ d i v \vec{B} = 0 \\ \vec{r o t} \vec{B} = μ_{0} \vec{j} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{matrix}

Équation énoncée par Maxwell pour satisfaire la conservation de la charge :

\vec{r o t} \vec{B} = μ_{0} \vec{j} + μ_{0} ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

Existence d'un champ magnétique induit par la variation du champ électrique (indétectable en A.R.Q.S.)

Forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère :

\begin{matrix} \oint_{C} \vec{B} \cdot \vec{t} d l = μ_{0} \iint_{S} (\vec{j} + ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) \cdot \vec{n} d S \end{matrix}

Courant de déplacement, analogue à un courant électrique :

\vec{j_{d}} = ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}

5. Propagation dans le vide

a. Équation de propagation

Équation de Maxwell dans le vide (région vide de charges et de courants) :

\begin{matrix} d i v \vec{E} = 0 \\ \vec{r o t} \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ d i v \vec{B} = 0 \\ \vec{r o t} \vec{B} = μ_{0} ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{matrix}

\vec{r o t} (\vec{r o t} \vec{E}) = - μ_{0} ε_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

Laplacien d'un champ vectoriel :

Δ \vec{E} = \nabla^{2} \vec{E} = \vec{g r a d} (d i v \vec{E}) - \vec{r o t} (\vec{r o t} \vec{E})

Équation aux dérivées partielles :

Δ \vec{E} = ε_{0} μ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

Laplacien d'un vecteur en coordonnées cartésiennes

Δ \vec{E} = \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial z^{2}}

(Δ \vec{E}) \cdot {\vec{u}}_{x} = Δ E_{x}

Équation de propagation des ondes électromagnétiques dans le vide

Δ \vec{E} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

Équation de d'Alembert, ou équation des ondes.

Existence d'ondes électromagnétiques.

$c = \frac{1}{\sqrt{ε_{0} μ_{0}}}$ : vitesse de la lumière dans le vide.

5. Propagation dans le vide

a. Équation de propagation

b. Régime quasi stationnaire

Temps de propagation d'une perturbation électromagnétique sur une distance L :

τ = \frac{L}{c}

Régime quasi stationnaire pour un phénomène périodique dans un système de taille L : temps de propagation négligeable devant la période.

$\frac{L}{c}\ll T$ c.a.d. $f\ll\frac{c}{L}$

En régime quasi stationnaire :

Δ \vec{E} \approx \vec{0}

Équation de Maxwell-Ampère :

\vec{r o t} \vec{B} \approx μ_{0} \vec{j}

Le théorème d'Ampère est valable dans l'A.R.Q.S.

d i v \vec{j} \approx 0

5. Énergie électromagnétique

a. Énergie du champ électromagnétique

L'énergie du champ électromagnétique est l'énergie qu'il faut fournir pour établir le champ à partir d'un champ nul, de manière réversible (sans dissipation).

Énergie pour établir le champ électrique dans un condensateur plan (infini)

\begin{matrix} W_{e} & = \int_{0}^{t} u (t) i (t) d t = \int_{0}^{t} u (t) C \frac{d u}{d t} d t = C \int_{0}^{U} u d u \\ = \frac{1}{2} C U^{2} \\ = \frac{1}{2} \frac{ε_{0} S}{e} {(e E)}^{2} \\ = \frac{1}{2} ε_{0} E^{2} S e \end{matrix}

Énergie pour établir le champ magnétique dans un solénoïde (infini)

\begin{matrix} W_{m} & = \int_{0}^{t} u (t) i (t) d t = \int_{0}^{t} L \frac{d i}{d t} i (t) d t = L \int_{0}^{I} i d i \\ = \frac{1}{2} L I^{2} \\ = \frac{1}{2} N π R^{2} μ_{0} \frac{N}{ℓ} \frac{B^{2}}{{(μ_{0} \frac{N}{ℓ})}^{2}} \\ = \frac{1}{2} \frac{B^{2}}{μ_{0}} π R^{2} ℓ \end{matrix}

Énergie pour établir un champ électromagnétique :

W_{e m} = ∭ (\frac{1}{2} ε_{0} {\vec{E}}^{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{μ_{0}} {\vec{B}}^{2}) d v

À tout point de l'espace où un champ électromagnétique est présent on attribue une densité volumique d'énergie électromagnétique

w_{e m} = \frac{1}{2} ε_{0} {\vec{E}}^{2} + \frac{1}{2} \frac{1}{μ_{0}} {\vec{B}}^{2}

5. Énergie électromagnétique

a. Énergie du champ électromagnétique

b. Équation de Poynting

Puissance volumique reçue par les charges :

\vec{j} \cdot \vec{E} = \frac{1}{μ_{0}} \vec{E} \cdot \vec{r o t} \vec{B} - ε_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot \vec{E}

Formule de calcul vectoriel :

d i v (\vec{E} \land \vec{B}) = \vec{B} \cdot \vec{r o t} \vec{E} - \vec{E} \cdot \vec{r o t} \vec{B}

Équation de Poynting :

d i v (\frac{\vec{E} \land \vec{B}}{μ_{0}}) + \frac{\partial}{\partial t} (\frac{1}{2 μ_{0}} {\vec{B}}^{2} + \frac{ε_{0}}{2} {\vec{E}}^{2}) = - \vec{j} \cdot \vec{E}

Vecteur de Poynting (puissance surfacique) :

\vec{Π} = \frac{\vec{E} \land \vec{B}}{μ_{0}}

Équation de Poynting :

d i v \vec{Π} + \frac{\partial w_{e m}}{\partial t} = - \vec{j} \cdot \vec{E}

5. Énergie électromagnétique

a. Énergie du champ électromagnétique

b. Équation de Poynting

c. Bilan de puissance

Taux de variation de l'énergie électromagnétique contenue dans un volume :

\begin{matrix} \frac{d W_{e m}}{d t} & = \frac{d}{d t} (∭_{V} w_{e m} d v) \\ = ∭_{V} \frac{\partial w_{e m}}{\partial t} d v \\ = - ∭_{V} \vec{j} \cdot \vec{E} d v - ∭_{V} d i v (\vec{Π}) d v \\ = - ∭_{V} \vec{j} \cdot \vec{E} d v - \iint_{S} \vec{Π} \cdot {\vec{n}}_{s} d S \end{matrix}

Le flux sortant du vecteur de Poynting à travers une surface fermée est la puissance électromagnétique qui traverse la surface dans le sens sortant, ou puissance rayonnée à travers la surface

P_{r a y} = \iint_{S} \vec{Π} \cdot {\vec{n}}_{s} d S

Le vecteur de Poynting est un vecteur densité de courant d'énergie électromagnétique.

Bilan de puissance pour un volume V:

\begin{matrix} - \frac{d W_{e m}}{d t} & = ∭_{V} \vec{j} \cdot \vec{E} d v + \iint_{S} \vec{Π} \cdot {\vec{n}}_{s} d S \end{matrix}

La diminution d'énergie électromagnétique est égale à la somme de l'énergie cédée aux charges et de l'énergie quittant le volume par rayonnement.

En présence de matière, l'énergie électromagnétique n'est pas conservée : échange matière-rayonnement.

Dans le vide, l'énergie électromagnétique se conserve :

d i v \vec{Π} + \frac{\partial w_{e m}}{\partial t} = 0