Nappes de courant

1. Introduction

Ce document montre le calcul numérique du champ magnétique créé par des nappes de courant planes.

Le potentiel vecteur vérifie l'équation de Poisson :

$${\nabla }^2\overrightarrow{A}=-{\mu }_0\overrightarrow{J}\text{(1)}$$

On se place dans le cas d'un problème bidimensionnel, où la densité de courant est selon l'axe Oz et indépendante de z. L'équation de Poisson devient alors :

$$\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2{A}_z}{\partial y^2}=-{\mu }_0{J}_z\text{(2)}$$

Le champ magnétique est obtenu par

$$\begin{array}{ccc}\hfill & B_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}\hfill & \hfill \text{(3)}\\ \hfill & B_y=-\frac{\partial A_z}{\partial x}\hfill & \hfill \text{(4)}\end{array}$$

Les lignes de champ magnétique sont définies par la relation différentielle :

$$B_{x}dy-B_{y}dx=0\text{(5)}$$

qui devient :

$$d{A}_z=0\text{(6)}$$

Les lignes de champs sont donc les lignes d'égales valeurs de A_z

On considère une nappe de courant, c'est-à-dire un courant localisé sur une plaque très mince.

L'équation de Laplace pour le potentiel est résolue numériquement par la méthode des différences finies et la méthode itérative de Gauss-Seidel.

Le module python utilisé est décrit dans Équation de Poisson : programme Python.

La nappe sera représentée par un segment sur le maillage. La conditions limite sur les bords du domaine est A_z=0.

2. Une nappe de courant

Le maillage carré comporte 256 par 256 mailles. Le segment représentant la nappe de courant est placé au milieu, parallèle à l'axe Ox. Il est défini sur un maillage réduit de 16 par 16 mailles.

from matplotlib.pyplot import *
import math
import numpy
import poisson.main
n=8
p=4
levels = n-p+1
laplace=poisson.main.Poisson(p,p,levels,1.0,1.0,-0.5,-0.5)
laplace.laplacien()
laplace.dirichlet_borders(0.0)
laplace.source_polygon(6,8,[4],[0],1.0)
result=laplace.opencl_iterations_norm(50,50,omega=1.9)
figure(figsize=(8,4))
plot(result[0],result[1])
xlabel('niter')  
ylabel('norm')
            

La norme de la matrice des valeurs de A_z permet de contrôler la convergence des itérations :

plotA.pdf

Az=laplace.get_array()
Bx=laplace.get_derivY()
By=-laplace.get_derivX()
figure(figsize=(8,8))
extent = laplace.get_extent()
contour(Az,30,extent=extent)
imshow(~laplace.get_mask(),extent=extent,alpha=0.5, cmap=cm.gray)
xlabel('x')
ylabel('y')
grid()
            

Tracé des lignes de champ :

plotB.pdf

Tracé du champ sur l'axe Oy :

figure()
y=laplace.get_y()
plot(y,Bx[:,2**(n-1)])
xlabel('y')
ylabel('Bx')
grid()
            

plotC.pdf

laplace.close()
            

3. Deux nappes parallèles de courants opposés

Cette configuration permet de modéliser une bobine ou bien un aimant permanent aimanté dans la direction (Ox).

n=8
p=4
levels = n-p+1
laplace=poisson.main.Poisson(p,p,levels,1.0,1.0,-0.5,-0.5)
laplace.laplacien()
laplace.dirichlet_borders(0.0)
laplace.source_polygon(6,9,[4],[0],1.0)
laplace.source_polygon(6,7,[4],[0],-1.0)
result=laplace.opencl_iterations_norm(50,50,omega=1.9)
figure(figsize=(8,4))
plot(result[0],result[1])
xlabel('niter')  
ylabel('norm')
            

plotD.pdf

Az=laplace.get_array()
Bx=laplace.get_derivY()
By=-laplace.get_derivX()
figure(figsize=(8,8))
extent = laplace.get_extent()
contour(Az,30,extent=extent)
imshow(~laplace.get_mask(),extent=extent,alpha=0.5, cmap=cm.gray)
xlabel('x')
ylabel('y')
grid()
            

plotE.pdf

figure()
y=laplace.get_y()
plot(y,Bx[:,2**(n-1)])
xlabel('y')
ylabel('Bx')
grid()
            

plotF.pdf

laplace.close()