Sphère conductrice dans un champ uniforme

1. Définition du problème

Un sphère conductrice de rayon a est fixée dans un champ électrostatique initialement uniforme. On suppose que le champ électrique est uniforme loin de la sphère. Soit O le centre de la sphère Ox la direction du champ uniforme. Il y a symétrie axiale par rapport à cet axe. On utilise donc les coordonnées sphériques.

Figure pleine page

On recherche un potentiel électrostatique V(r,θ) nul sur la surface de la sphère et ayant la forme suivante loin de la sphère :

V (r ≫ a, θ) ≃ E_{0} cos θ

La solution est obtenue en superposant ce potentiel à celui d'un dipôle électrique placé en O, dont le moment dipolaire est colinéaire à l'axe Oz. Le potentiel est :

V (r, θ) = E_{0} (\frac{a^{3}}{r^{2}} - r) cos θ

Le champ électrique en dehors de la sphère est donc :

\begin{matrix} E_{r} = E_{0} (2 \frac{a^{3}}{r^{3}} + 1) cos θ \\ E_{θ} = E_{0} (\frac{a^{3}}{r^{3}} - 1) sin θ \end{matrix}

2. Équipotentielles et lignes de champ

On cherche à tracer les lignes équipotentielles dans un plan méridien. La fonction suivante calcule le potentiel en coordonnées cartésiennes :

V[x_,y_]:=Module[{r},r=Sqrt[x^2+y^2];If[r>1,Return[(1/r^2-r)*Re[x+I y]/r],Return[0]]]

Les deux fonctions suivantes calculent les composantes du champ électrique :

Ex[x_,y_]:=Module[{r,cos,sin,Er,Etheta},
	r=Sqrt[x^2+y^2];cos=Re[x+I y]/r;sin=Im[x+I y]/r;
	Er=(2/r^3+1)*cos;
	Etheta=(1/r^3-1)*sin;
	If [r>1, Return[Er*cos-Etheta*sin],Return[0]];
]
Ey[x_,y_]:=Module[{r,cos,sin,Er,Etheta},
	r=Sqrt[x^2+y^2];cos=Re[x+I y]/r;sin=Im[x+I y]/r;
	Er=(2/r^3+1)*cos;
	Etheta=(1/r^3-1)*sin;
	If [r>1, Return[Er*sin+Etheta*cos],Return[0]];
]

Tracé des lignes équipotentielles :

p1=ContourPlot[V[x,y],{x,-5,5},{y,-5,5},PlotPoints->200,Contours->30,ContourShading->None,ContourStyle->Red]

Tracé des lignes de champ :

p2=Show[StreamPlot[{Ex[x,y],Ey[x,y]},{x,-5,5},{y,-5,5},StreamPoints->100],Graphics[Circle[{0,0}]]]

Show[p1,p2]

figA.pdf