Électromagnétisme stationnaire - Équation de Poisson

2.a. Électrostatique dans le vide

Dans un problème d'électrostatique, on cherche à déterminer le champ électrique généré par des charges stationnaires (dans le référentiel considéré). Le champ est déterminé par les deux équations de Maxwell suivantes :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & div\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\hfill & \hfill \text{(1)}\\ \hfill & \overrightarrow{rot}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}\hfill & \hfill \text{(2)}\end{array}$$

La seconde équation implique l'existence d'un potentiel électrostatique V tel que :

$$\overrightarrow{E}=-\overrightarrow{grad}V\text{(3)}$$

Considérons tout d'abord un dispositif comportant des conducteurs dans un milieu assimilable au vide, c'est-à-dire un milieu matériel dont l'effet des polarisations moléculaires peut être négligé. L'air est généralement considéré comme assimilable au vide. Dans ce cas, seules les surfaces des conducteurs peuvent porter des charges. Celles-ci sont qualifiées de charges libres car elles se déplacent facilement dans le conducteur. Ces charges sont le plus souvent modélisées par une densité surfacique de charge sur la surface des conducteurs. Cette densité ne peut être donnée a priori car les charges sont mobiles et se répartissent en fonction du champ électrique. Des deux équations de Maxwell on déduit l'équation de Poisson :

$$\Delta V=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\text{(4)}$$

Le champ électrique est nul dans les conducteurs. En conséquence, chaque conducteur constitue un volume équipotentiel. On doit donc résoudre l'équation de Poisson dans le domaine Ω constitué du milieu (assimilable au vide) qui entoure les conducteurs. Ce milieu ne contenant aucune charge, l'équation s'écrit :

$$\Delta V=0\text{(5)}$$

On doit alors résoudre une équation de Laplace avec les conditions limites suivantes :

• Sur chaque surface de conducteur, la valeur du potentiel attribué à ce conducteur.
• Sur la surface externe qui limite le domaine Ω et qui contient tous les conducteurs, un potentiel nul.

Sur la surface externe, il est dans certains cas judicieux d'introduire une condition limite imposant une certaine forme pour le champ électrique, ce qui revient à imposer le gradient du potentiel.

Une fois le potentiel calculé, la densité de charge sur la surface d'un conducteur est déterminée par la relation de passage associée à l'équation de Maxwell-Gauss :

$$\sigma ={\epsilon }_0\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}\text{(6)}$$

où $\overrightarrow{E}$ est le champ électrique sur la surface au point considéré (en dehors du conducteur) et $\overrightarrow{n}$ la normale unitaire sortante en ce point.

La quantité de charge totale portée par chaque conducteur est obtenue par intégration sur sa surface de cette densité. Il faut remarquer que la quantité de charge totale des conducteurs ne peut être une donnée a priori dans la résolution de ce problème. Cela rend délicat la résolution d'un problème dans lequel les quantités de charges portées par les conducteurs seraient données a priori. Par exemple, considérons un problème où trois sphères métalliques sont placées à proximité, comportant respectivement des quantités de charge Q₁,Q₂,Q₃. On ne sait pas a priori quels potentiels V₁,V₂,V₃ (par rapport au potentiel à l'infini) il faudrait attribuer à ces conducteurs pour obtenir la répartition des charges donnée. Dans ce cas, Ce problème peut être résolu en utilisant le fait que la quantité de charges portée par un conducteur dépend linéairement des potentiels des conducteurs :

$$Q_i=\sum _{j=1}^N{C}_{ij}{V}_j\text{(7)}$$

Le calcul des capacités C_ij pour un indice j donné se fait en attribuant un potentiel de valeur 1 au conducteur d'indice j et un potentiel nul à tous les autres conducteur. Lorsque les capacités sont connues, il est aisé de définir les potentiels pour un choix donné de charges.

2.b. Électrostatique en présence de diélectriques

Voyons à présent comment résoudre un problème d'électrostatique en présence de corps faits d'un matériau diélectrique, c'est-à-dire un matériau non conducteur mais dont les molécules sont dipolaires ou bien polarisables sous l'effet d'un champ électrique. Pour la matière condensée, les effets de cette polarisation ne sont pas négligeables. D'un point de vue macroscopique, on décrit la polarisation du diélectrique par un vecteur polarisation $\overrightarrow{P}$ (densité volumique de moment dipolaire). La non uniformité de la polarisation engendre des charges liées dont la densité est donnée par ([1]) :

$${\rho }_P=-div\overrightarrow{P}\text{(8)}$$

Ces charges sont qualifées de charges liées par opposition aux charges libres des conducteurs car elles sont liées aux molécules qui portent les moments dipolaires. Cependant (à l'exception des électrets où ces charges sont fixes), les charges liées dépendent du champ électrique puisque $\overrightarrow{P}$ dépend du champ électrique moyen au point considéré.

Pour traiter un problème d'électrostatique en présence de diélectriques, on introduit le vecteur déplacement électrique, défini par :

$$\overrightarrow{D}={\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P}\text{(9)}$$

Le champ électrique $\overrightarrow{E}$ est un champ moyen au point considéré dans le diélectrique. Le problème de la définition de ce champ moyen est développé dans [2]. C'est bien sûr ce champ électrique moyen que l'on cherche à calculer. Remarquons que lorsqu'on affirme que le champ électrostatique est nul à l'intérieur d'un conducteur, on fait aussi référence à un champ moyen.

L'équation de Maxwell-Gauss, la densité de charges liées $\mathrm{(8)}$ et la définition $\mathrm{(9)}$ conduisent à l'équation :

$$div\overrightarrow{D}=\rho \text{(10)}$$

où ρ désigne la densité de charges libres, c'est-à-dire les charges sur les surfaces des conducteurs. Cette équation est nommée équation de Maxwell-Gauss dans le diélectrique. La forme intégrale de cette équation pour une surface fermée S délimitant un volume V est :

$${\iint }_S\overrightarrow{D}\cdot \overrightarrow{n}ds={\iiint }_V\rho d\tau \text{(11)}$$

Le problème ne peut être résolu que si l'on sait comment la polarisation $\overrightarrow{P}$ dépend du champ électrique moyen $\overrightarrow{E}$. Les matériaux diélectriques liquides et solides amorphes (ou à structure cristalline cubique) peuvent être décrits par une relation linéaire de la forme :

$$\overrightarrow{P}={\epsilon }_0\chi \overrightarrow{E}\text{(12)}$$

où $\chi$ désigne la susceptibilité électrique du matériau (grandeur sans dimensions). On obtient alors :

$$\overrightarrow{D}={\epsilon }_0(1+\chi )\overrightarrow{E}={\epsilon }_0{\epsilon }_r\overrightarrow{E}\text{(13)}$$

où ε_r est la permittivité électrique relative du matériau. La permittivité électrique étant définie par :

$$\epsilon ={\epsilon }_r{\epsilon }_0=(1+\chi ){\epsilon }_0\text{(14)}$$

l'équation de Maxwell-Gauss dans un diélectrique linéaire s'écrit :

$$div\left(\epsilon \overrightarrow{E}\right)=\rho \text{(15)}$$

et sa forme intégrale :

$${\iint }_S\epsilon \overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{n}ds={\iiint }_V\rho d\tau \text{(16)}$$

qu'on peut aussi écrire avec le potentiel :

$${\iint }_S\epsilon \overrightarrow{grad}V\cdot \overrightarrow{n}ds=-{\iiint }_V\rho d\tau \text{(17)}$$

Cette équation s'applique également dans le vide (ou tout matériau équivalent au vide) avec $\epsilon ={\epsilon }_0$. Le vide peut donc être considéré comme un milieu diélectrique. La forme intégrale peut s'écrire pour une surface fermée contenant une interface entre deux milieux, par exemple un milieu diélectrique et un autre, ou un milieu diélectrique et un conducteur (dans lequel le champ électrique est nul).

La densité de charges ρ représente toutes les charges autres que celles liées à la polarisation, c'est-à-dire les charges présentes sur les surfaces des conducteurs. Dans certains modèles, on peut aussi introduire d'autres charges, par exemple des charges quasi ponctuelles.

Dans le cas d'un problème bidimensionnel, le potentiel est de la forme V(x,y) et la forme intégrale $\mathrm{(17)}$ s'exprime de la manière suivante :

$${\int }_C\epsilon \overrightarrow{grad}V\cdot \overrightarrow{n}d\ell =-{\iint }_S\rho ds\text{(18)}$$

où C désigne une courbe inscrite dans le plan (Oxy), $\overrightarrow{n}$ le vecteur de ce plan normal à cette courbe en tout point et S la surface du plan (Oxy) délimitée par la courbe C.

Figure pleine page

Chaque corps diélectrique (y compris le vide) ayant une permittivité uniforme, celle-ci est constante par morceaux. Dans un domaine où la permittivité est ε₁, le potentiel électrostatique vérifie donc l'équation de Poisson suivante :

$$\Delta V_1=-\frac{\rho }{{\epsilon }_1}\text{(19)}$$

La figure suivante représente deux corps diélectriques différents et un conducteur. L'interface entre deux diélectriques ou entre un diélectrique et un conducteur nécessite une condition limite particulière permettant de raccorder les solutions de l'équation de Poisson dans les différents domaines.

Figure pleine page

Pour l'interface entre les deux diélectriques, notons ${\overrightarrow{n}}_{12}$ la normale unitaire orientée de 1 vers 2. Appliquons la forme intégrale $\mathrm{(16)}$ à une surface fermée S (représentée en pointillée sur la figure) comportant une face infiniment petite dans le milieu 1, une face infiniment petite dans le milieu 2, la distance entre ces deux faces étant aussi infiniment petite. On obtient la relation de passage suivante :

$${\overrightarrow{n}}_{12}\cdot ({\epsilon }_2{\overrightarrow{E}}_2-{\epsilon }_1{\overrightarrow{E}}_1)=\sigma \text{(20)}$$

où σ désigne la densité surfacique de charge libre à l'interface au point considéré. Cette densité est nulle. L'équation $\overrightarrow{rot}\overrightarrow{E}=\overrightarrow{0}$ implique par ailleurs la continuité de la composante tangentielle de $\overrightarrow{E}$.

La relation $\mathrm{(20)}$ peut aussi s'exprimer avec le potentiel :

$${\overrightarrow{n}}_{12}\cdot ({\epsilon }_2\overrightarrow{grad}{V}_2-{\epsilon }_1\overrightarrow{grad}{V}_1)=-\sigma \text{(21)}$$

Cependant, on verra plus loin que l'obtention d'un schéma de différence finie à l'interface se fait plus simplement au moyen de la forme intégrale $\mathrm{(17)}$ (méthode des volumes finis).

À l'interface entre le diélectrique 1 et le conducteur on obtient par la même méthode (sachant que le champ électrique moyen est nul dans le conducteur) :

$${\epsilon }_1{\overrightarrow{E}}_1\cdot \overrightarrow{n}={\sigma }_c\text{(22)}$$

où ${\sigma }_c$ désigne la densité surfacique de charges sur la surface du conducteur au point considéré. Cette densité est non nulle en général est non connue a priori. La relation ci-dessus sert en fait à calculer la densité de charge après détermination du champ électrique. La condition limite pour l'équation de Poisson sur la surface du conducteur consiste simplement à attribuer une valeur au potentiel.

2.c. Électrostatique en présence d'électrets

Un électret est un corps possédant une polarisation $\overrightarrow{P}$ permanente, indépendante du champ électrique qu'on lui applique (du moins tant que celui-ci n'est pas trop fort).

L'électret n'est évidemment pas un diélectrique à relation constitutive linéaire et nécessite donc un traitement à part.

À l'intérieur d'un électret, l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

$$div\overrightarrow{E}=-\frac{1}{{\epsilon }_0}div\overrightarrow{P}\text{(23)}$$

dans l'hypothèse où aucune charge libre n'est présente dans l'électret. L'équation de Poisson pour le potentiel électrostatique s'écrit donc dans l'électret :

$$\Delta V=\frac{1}{{\epsilon }_0}div\overrightarrow{P}\text{(24)}$$

Dans le cas d'un barreau d'électret dont la polarisation est uniforme à l'intérieur, la divergence de $\overrightarrow{P}$ est nulle dans le barreau et l'équation vérifiée par le potentiel est l'équation de Laplace.

La forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss s'écrit :

$${\iint }_S({\epsilon }_0\overrightarrow{E}+\overrightarrow{P})\cdot \overrightarrow{n}ds=0\text{(25)}$$

Plus généralement, si la surface S contient des charges libres et un diélectrique linéaire, on écrira :

$${\iint }_S(\epsilon \overrightarrow{E}+\overrightarrow{P})\cdot \overrightarrow{n}ds={\iiint }_V\rho d\tau \text{(26)}$$

La polarisation $\overrightarrow{P}$ est bien sûr celle des électrets seulement, pas celle des diélectriques linéaires, qui sont déjà pris en compte dans la permittivité électrique ε.

Cette relation permet d'obtenir la relation de passage à l'interface entre un électret et un autre corps (qui peut être aussi un électret). La figure suivante représente un barreau électret (de polarisation uniforme) dans un milieu diélectrique :

Figure pleine page

La forme intégrale appliquée sur la surface S (infiniment petite) conduit à la relation de passage suivante :

$${\overrightarrow{n}}_{12}\cdot ({\epsilon }_0{\overrightarrow{E}}_2-{\epsilon }_1{\overrightarrow{E}}_1)=-{\overrightarrow{n}}_{12}\cdot \overrightarrow{P}\text{(27)}$$

Le second terme est non nul dans la mesure où le vecteur polarisation a une composante normale sur l'interface. Ce résultat montre qu'il y a à l'interface une discontinuité de la composante normale de $\epsilon \overrightarrow{E}$, égale à une densité de charge équivalente :

$${\sigma }_P=-{\overrightarrow{n}}_{12}\cdot \overrightarrow{P}\text{(28)}$$

Dans le cas d'un problème bidimensionnel (potentiel V(x,y)), la relation $\mathrm{(18)}$ devient :

$${\int }_C\epsilon \overrightarrow{grad}V\cdot \overrightarrow{n}d\ell ={\int }_C\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{n}d\ell -{\iint }_S\rho ds\text{(29)}$$

4.a. Magnétostatique dans un milieu non magnétique

Considérons tout d'abord un problème comportant des courants stationnaire de densité $\overrightarrow{J}$ dans des conducteurs et un milieu non magnétique, c'est-à-dire de perméabilité magnétique μ₀. Le champ magnétique $\overrightarrow{B}$ est déterminé par les deux équations de Maxwell :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & div\overrightarrow{B}=0\hfill & \hfill \text{(38)}\\ \hfill & \overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{J}\hfill & \hfill \text{(39)}\end{array}$$

La première équation implique l'existence d'un champ $\overrightarrow{A}$ (le potentiel vecteur) tel que :

$$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{rot}\overrightarrow{A}\text{(40)}$$

Au moyen de la seconde équation, on obtient l'équation aux dérivées partielles reliant le potentiel vecteur et la densité de courant.

$$\overrightarrow{grad}\left(div\overrightarrow{A}\right)-\Delta \overrightarrow{A}={\mu }_0\overrightarrow{J}\text{(41)}$$

Le potentiel vecteur n'est pas unique : on peut lui ajouter un champ dont le rotationnel est nul sans changer le champ magnétique $\overrightarrow{B}$. L'unicité du potentiel vecteur est obtenue grâce à la condition suivante :

$$div\overrightarrow{A}=0\text{(42)}$$

Il s'en suit que l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le potentiel vecteur est :

$$\Delta \overrightarrow{A}=-{\mu }_0\overrightarrow{J}\text{(43)}$$

Le vecteur densité de courant est supposé connu dans tous les conducteurs.

Le potentiel vecteur vérifie l'équation de Poisson vectorielle. Cette équation est beaucoup plus difficile à résoudre que l'équation de Poisson scalaire vérifiée par le potentiel scalaire V. Le potentiel vecteur comporte en général trois composantes et la condition $\mathrm{(42)}$ fait que ces trois composantes ne sont pas indépendantes.

Le problème de magnétostatique se simplifie considérablement pour un problème bidimensionnel. Dans ce type de problème, le courant électrique a une direction fixée :

$$\overrightarrow{J}=J_z(x,y){\overrightarrow{u}}_z\text{(44)}$$

L'indépendance par rapport à la variable z vient de $div\overrightarrow{J}=0$. Dans ce cas, on a :

$$\overrightarrow{A}=A_z(x,y){\overrightarrow{u}}_z\text{(45)}$$

et l'équation de poisson vectorielle devient une équation scalaire :

$$\Delta A_z=-{\mu }_0{J}_z\text{(46)}$$

Pour un problème de magnétostatique axisymétrique, le vecteur densité de courant a seulement une composante orthoradiale $J_{\theta }$ et il en est de même du potentiel vecteur. Sa composante $A_{\theta }$ obéit à une équation aux dérivées partielles (voir Discrétisation de l'équation de Poisson vectorielle).

Dans ce document, nous nous limitons à un problème bidimensionnel où le vecteur densité de courant électrique a une direction fixe. Le champ magnétique se déduit du potentiel vecteur par :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & B_x=\frac{\partial A_z}{\partial y}\hfill & \hfill \text{(47)}\\ \hfill & B_y=-\frac{\partial A_z}{\partial x}\hfill & \hfill \text{(48)}\end{array}$$

Les lignes d'isovaleurs de A_z sont des lignes de champ magnétique.

4.b. Magnétostatique en présence de corps magnétiques linéaires

Voyons à présent comment résoudre un problème de magnétostatique en présence de corps magnétiques. On s'intéresse principalement aux corps ferromagnétiques.

D'un point de vue macroscopique, le magnétisme de la matière peut être décrit par un vecteur aimantation $\overrightarrow{M}$ (densité volumique de moment magnétique). La non uniformité de l'aimantation a pour conséquence la génération dans l'espace d'un champ magnétique. Celui-ci peut être calculé au moyen du vecteur densité de courant suivant ([1]) :

$${\overrightarrow{J}}_M=\overrightarrow{rot}\overrightarrow{M}\text{(49)}$$

L'équation de Maxwell-Ampère s'écrit donc :

$$\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}={\mu }_0(\overrightarrow{J}+\overrightarrow{rot}\overrightarrow{M})\text{(50)}$$

Il est d'usage d'introduire le vecteur excitation magnétique :

$$\overrightarrow{H}=\frac{\overrightarrow{B}}{{\mu }_0}-\overrightarrow{M}\text{(51)}$$

où $\overrightarrow{B}$ est le champ magnétique moyen dans le matériau magnétique. On obtient ainsi l'équation :

$$\overrightarrow{rot}\overrightarrow{H}=\overrightarrow{J}\text{(52)}$$

Cette équation, que l'on peut nommer équation de Maxwell-Ampère dans un milieu magnétique, s'applique aussi dans un milieu non magnétique (pour lequel $\overrightarrow{M}=\overrightarrow{0}$).

Pour résoudre le problème, il faut bien sûr savoir comment l'aimantation $\overrightarrow{M}$ dépend de l'excitation magnétique. Pour un matériau ferromagnétique dur, cette dépendance est non linéaire et ne peut s'exprimer par une fonction. Le cas d'un matériauxferromagnétique dur (aimant permanent) en présence d'un champ d'excitation faible sera traité dans le paragraphe suivant. On se limite ici au cas d'un matériau ferromagnétique doux (par exemple le fer doux utilisé pour les noyaux des bobines ou des électro-aiamnts) et on suppose de plus que le champ d'excitation est assez faible pour que la relation linéaire suivante soit valable :

$$\overrightarrow{M}={\chi }_m\overrightarrow{H}\text{(53)}$$

où ${\chi }_m$ est la susceptibilité magnétique du matériau ferromagnétique doux. On a dans ce cas :

$$\overrightarrow{B}={\mu }_0(1+{\chi }_m)\overrightarrow{H}={\mu }_0{\mu }_r\overrightarrow{H}=\mu \overrightarrow{H}\text{(54)}$$

où ${\mu }_r$ est la perméabilité magnétique relative et $\mu$ la perméabilité magnétique du matériau. Si le matériau est non magnétique, on a $\mu ={\mu }_0$.

L'équation de Maxwell-Ampère dans le milieu magnétique linéaire s'écrit :

$$\overrightarrow{rot}\left(\frac{\overrightarrow{B}}{\mu }\right)=\overrightarrow{J}\text{(55)}$$

La forme intégrale de cette équation, pour une courbe C délimitant une surface S, s'écrit :

$${\int }_C\left(\frac{\overrightarrow{B}}{\mu }\right)\cdot d\overrightarrow{\ell }={\iint }_S\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{n}ds\text{(56)}$$

Dans une région de l'espace où la perméabilité magnétique est uniforme, on obtient l'équation de Poisson suivante pour le potentiel vecteur :

$$\Delta \overrightarrow{A}=-\mu \overrightarrow{J}\text{(57)}$$

Puisque le courant est stationnaire, l'intérieur des corps ferromagnétiques ne comporte aucun courant induit. Dans certains cas, des corps en fer peuvent être cependant le siège de courants électriques. Ces courants devront au préalable être déterminés en suivant la méthode développé au paragraphe précédent. En effet, ces courants sont indépendants du champ magnétique et se déterminent donc dans le cadre d'un problème d'électrostatique (à condition de négliger l'effet Hall).

La figure suivant montre un exemple de problème, comportant des conducteurs parcourus par des courants dont la densité est donnée, un milieu non magnétique (qui peut être l'air) et un corps ferromagnétique doux.

Figure pleine page

Pour le calcul du champ magnétique, le milieu magnétique et le milieu non magnétique ne diffèrent que par leur perméabilité magnétique. Pour plus de généralité, notons 1 le milieu de perméabilité magnétique ${\mu }_1$ et 2 le milieu de perméabilité magnétique ${\mu }_2$. Il peut s'agir d'un corps magnétique et d'un milieu non magnétique ou bien de deux corps magnétiques de perméabilités différentes.

La forme intégrale $\mathrm{(56)}$ appliqué à tout rectangle C infiniment petite et traversant l'interface permet d'obtenir la relation de passage suivante à l'interface entre les deux milieux ([1],[2]) :

$${\overrightarrow{n}}_{12}\wedge (\frac{{\overrightarrow{B}}_2}{{\mu }_2}-\frac{{\overrightarrow{B}}_1}{{\mu }_1})={\overrightarrow{J}}_S\text{(58)}$$

où ${\overrightarrow{J}}_s$ désigne la densité de courant de surface sur l'interface entre les deux milieux. Dans la plupart des situations, il n'y a pas de courant surfacique donc :

$${\overrightarrow{n}}_{12}\wedge (\frac{{\overrightarrow{B}}_2}{{\mu }_2}-\frac{{\overrightarrow{B}}_1}{{\mu }_1})=\overrightarrow{0}\text{(59)}$$

Cette relation exprime la continuité de la compoosante tangentielle de $\overrightarrow{B}/\mu$. Par ailleurs, l'équation $div\overrightarrow{B}=0$ implique la continuité de la composante normale de $\overrightarrow{B}$ sur l'interface.

Considérons à présent le cas particulier d'un problème bidimensionnel défini plus haut (courant électrique et potentiel vecteur dans la direction ${\overrightarrow{u}}_z$). La forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère s'écrit pour une courbe fermée contenue dans le plan (Oxy) :

$${\int }_C\left(\frac{\overrightarrow{rot}\overrightarrow{A}}{\mu }\cdot d\overrightarrow{\ell }\right)={\iint }_S\overrightarrow{J}\cdot {\overrightarrow{u}}_{z}ds\text{(60)}$$

soit en explicitant le rotationnel et en écrivant $d\overrightarrow{\ell }=dx{\overrightarrow{u}}_x+dy{\overrightarrow{u}}_y$ :

$${\int }_C\frac{1}{\mu }\frac{\partial A_z}{\partial y}dx-\frac{1}{\mu }\frac{\partial A_z}{\partial x}dy={\iint }_S{J}_{z}ds\text{(61)}$$

Dans cette intégrale, la perméabilité magnétique $\mu$ est en général différente sur différentes parties de la courbe C. Cette intégrale sur la courbe fermée peut aussi être considérée comme une intégrale sur une surface fermée dans un espace de dimension 2. La figure suivante montre la courbe C et les quatres faces de la surface avec les normales correspondantes.

Figure pleine page

Considérons le flux du gradient de A_z (divisé par la perméabilité) à travers cette surface :

$${\int }_C\frac{1}{\mu }\overrightarrow{grad}{A}_z\cdot \overrightarrow{n}d\ell ={\int }_A^B-\frac{1}{\mu }\frac{\partial A_z}{\partial y}dx+{\int }_B^C\frac{1}{\mu }\frac{\partial A_z}{\partial x}dy+{\int }_C^D\frac{1}{\mu }\frac{\partial A_z}{\partial x}(-dx)+{\int }_C^D-\frac{1}{\mu }\frac{\partial A_z}{\partial x}(-dy)\text{(62)}$$

Finalement, la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère dans l'espace à deux dimensions s'écrit :

$${\int }_C\frac{1}{\mu }\overrightarrow{grad}{A}_z\cdot \overrightarrow{n}d\ell =-{\iint }_S{J}_{z}ds\text{(63)}$$

Sous cette forme, la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère est similaire à l'équation $\mathrm{(18)}$ qui exprime la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss pour un problème bidimensionnel.

Pour un problème bidimensionnel (en coordonnées cartésiennes), la formulation intégrale est donc similaire (tout comme l'équation de Poisson) à celle d'un problème d'électrostatique bidimensionnel, à condition de remplacer le potentiel V par A_z, la permittivité électrique ε par 1/μ et la densité volumique de charge ρ par J_z.

4.c. Magnétostatique en présence d'aimants permanents

Un aimant permanent est un corps constitué d'un matériau ferromagnétique dur. Il est caractérisé par une aimantation $\overrightarrow{M}$ constante et indépendante de l'excitation magnétique, du moins tant que celle-ci reste assez faible.

On s'intéresse à un problème de magnétostatique dans lequel figurent à la fois des aimants permanents et des courants électriques, éventuellement avec des corps en matériau ferromagnétique doux à comportement linéaire. Par exemple, on peut s'intéresser à l'interaction d'un aimant permanent avec un électro-aimant comportant un noyau de fer doux.

En tout point à l'intérieur d'un aimant permanent, on a :

$$\overrightarrow{rot}\overrightarrow{B}={\mu }_0\overrightarrow{rot}\overrightarrow{M}\text{(64)}$$

dans l'hypothèse ou aucun courant électrique ne circule dans l'aimant. On a donc pour le potentiel vecteur dans un aimant permanent :

$$\Delta \overrightarrow{A}=-{\mu }_0\overrightarrow{rot}\overrightarrow{M}\text{(65)}$$

Dans le cas d'un barreau aimanté dont l'aimantation est uniforme à l'intérieur, le rotationnel de l'aimantation est non nul seulement au voisinage de la surface de l'aimant. La forme intégrale de $\mathrm{(64)}$ pour une courbe fermée C s'écrit :

$${\int }_C(\frac{1}{{\mu }_0}\overrightarrow{B}-\overrightarrow{M})\cdot d\overrightarrow{\ell }=0\text{(66)}$$

Plus généralement, si la courbe C est traversée par un courant électrique, la relation $\mathrm{(56)}$ devient :

$${\int }_C(\frac{\overrightarrow{B}}{\mu }-\overrightarrow{M})\cdot d\overrightarrow{\ell }={\iint }_S\overrightarrow{J}\cdot \overrightarrow{n}ds\text{(67)}$$

Bien évidemment, $\overrightarrow{M}$ représente l'aimantation des aimants permanent seulement, pas des ferromagnétiques linéaires qui sont déjà pris en compte par leur perméabilité magnétique. Grâce à la formulation intégrale, il est possible de définir une aimantation uniforme dans tout l'aimant et, par conséquent, dont le rotationnel n'est pas défini sur sa surface.

La relation de passage à une interface entre deux corps s'obtient à partir de cette relation. Considérons par exemple l'interface entre un barreau aimanté et un milieu non magnétique :

Figure pleine page

La circulation sur tout rectangle infiniment petit qui traverse la surface conduit à :

$${\overrightarrow{n}}_{12}\wedge (\frac{{\overrightarrow{B}}_2}{{\mu }_0}-\overrightarrow{M}-\frac{{\overrightarrow{B}}_1}{{\mu }_0})=\overrightarrow{0}\text{(68)}$$

qui s'écrit aussi :

$${\overrightarrow{n}}_{12}\wedge (\frac{{\overrightarrow{B}}_2}{{\mu }_0}-\frac{{\overrightarrow{B}}_1}{{\mu }_0})={\overrightarrow{n}}_{12}\wedge \overrightarrow{M}\text{(69)}$$

Le second terme est non nul dans la mesure où l'aimantation est tangent à la surface mais il serait nul sur les faces situées aux extrémités du barreau.

Il y a donc une discontinuité de la composante tangentielle de $\overrightarrow{B}/\mu$, égale à une densité de courant de surface équivalente :

$${\overrightarrow{J}}_{SM}={\overrightarrow{n}}_{12}\wedge \overrightarrow{M}\text{(70)}$$

Le barreau aimanté est équivalent à un conducteur parcouru par un courant de surface de type solénoïdal.

Considérons à présent le cas d'un problème bidimensionnel. L'équation $\mathrm{(63)}$ devient :

$${\int }_C\frac{1}{\mu }\overrightarrow{grad}{A}_z\cdot \overrightarrow{n}d\ell =-{\iint }_S{J}_{z}ds-{\int }_C\left(\overrightarrow{n}\wedge \overrightarrow{M}\right)\cdot {\overrightarrow{u}}_{z}d\ell \text{(71)}$$

L'aimantation $\overrightarrow{M}$ est dans le plan (Oxy), tout comme le vecteur $\overrightarrow{n}$, donc le vecteur $\overrightarrow{n}\wedge \overrightarrow{M}$ (densité de courant de surface) est colinéaire à ${\overrightarrow{u}}_z$.

5.a. Équation de Poisson et loi de conservation

Dans cette partie, on énonce les équations générales pour un problème bidimensionnel d'électrostatique ou de magnétostatique.

L'équation de Poisson s'écrit :

$$\Delta u=-f\text{(72)}$$

Pour un problème d'électrostatique, la fonction u(x,y) désigne le potentiel électrostatique V et le terme de source est :

$$f=\frac{\rho }{\epsilon }-\frac{div\overrightarrow{P}}{{\epsilon }_0}\text{(73)}$$

Le premier terme est présent dans un diélectrique comportant une charge (non liée à la polarisation). Le second terme est présent dans un électret. Pour un conducteur siège d'un courant électrique stationnaire f=0.

Pour un problème de magnétostatique, la fonction u(x,y) désigne la composante A_z du potentiel vecteur. Le terme de source est :

$$f=\mu J_z+{\mu }_0(\frac{\partial M_y}{\partial x}-\frac{\partial M_x}{\partial y})\text{(74)}$$

Le premier terme est présent dans un conducteur (éventuellement ferromagnétique linéaire) parcouru par un courant électrique (dont la densité est donnée). Le second terme est présent dans un aimant permanent (si l'aimantation n'est pas uniforme).

L'équation de Poisson ci-dessus n'est valable qu'à l'intérieur d'un domaine homogène (où les propriétés sont uniformes) : intérieur d'un conducteur, d'un diélectrique, d'un aimant permanent, etc. Il est nécessaire d'écrire aussi les conditions limites qui permettent de raccorder les solutions entre ces différents domaines. Comme il a été vu plus haut, la condition limite d'obtient au moyen de la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Gauss ou bien de la forme intégrale de l'équation de Maxwell-Ampère. Il se trouve que la forme intégrale est suffisante pour mettre en équation le problème et qu'il est donc possible de se passer de l'équation de Poisson. La forme intégrale est un cas particulier de loi de conservation.

Pour un problème bidimensionnel, la forme intégrale s'écrit pour une courbe C fermée contenue dans le plan (Oxy) et la surface de ce plan S délimitée par cette courbe.

Figure pleine page

Voici l'écriture générale de la loi de conservation pour un problème d'électrostatique ou de magnétostatique bidimensionnel :

$${\int }_{C}a\overrightarrow{grad}u\cdot \overrightarrow{n}d\ell ={\iint }_{S}fds+{\int }_{C}gd\ell \text{(75)}$$

Pour un problème d'électrostatique, on a a=ε sur la partie de C située dans un diélectrique linéaire ou bien a=ε₀ dans le vide, dans un conducteur ou dans un électret. Dans un conducteur parcouru par un courant ohmique, on a a=γ (conductivité). Dans tous les cas on a :

$$f=-\rho \text{(76)}$$

où ρ désigne la densité de charges libres.

La fonction g est non nulle dans la partie de C située dans un électret :

$$g=\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{n}\text{(77)}$$

où $\overrightarrow{P}$ désigne le vecteur polarisation dans l'élecret. Il faut remarquer que si la courbe C est entièrement dans un électret et si la polarisation dans celui-ci est uniforme, alors l'intégrale de g est nulle.

Pour un problème de magnétostatique, on a a=1/μ sur la partie de C située dans un matériau magnétique linéaire ou bien a=1/μ₀ dans un matériau non magnétique ou le vide. Dans tous les cas on a :

$$f=-J_z\text{(78)}$$

où J_z désigne la densité de courant.

La fonction g est non nulle dans la partie de C située dans un aimant permanent :

$$g=-\left(\overrightarrow{n}\wedge \overrightarrow{M}\right)\cdot {\overrightarrow{u}}_z\text{(79)}$$

Il faut remarquer que si C est entièrement dans un aimant permanent et si l'aimantation de celui-ci est uniforme alors l'intégrale de g est nulle.

La figure suivante montre un exemple de problème de magnétostatique.

Figure pleine page

Les rectangles tracés en rouge sont des exemples de courbes C sur lesquelles l'application de la loi de conservation est intéressante. On verra en effet que la méthode des volumes finis permet d'obtenir les schémas de différence finie grâce à la loi de conservation appliquée sur ce type de rectangles.

Le rectangle 1 est entièrement dans un milieu non magnétique dénué de courant : le terme de droite de $\mathrm{(75)}$ est donc nul. Le rectangle 2 est entièrement dans un conducteur où un courant est défini : le terme de droite contient donc l'intégrale J_z sur la surface du rectangle. Pour le rectangle 3, l'intégrale de J_z se fait sur la partie du rectangle située dans le conducteur. Pour le terme de gauche, on a a=1/μ sur tout le rectangle puisque les deux milieux sont non magnétiques. Pour le rectangle 4, le terme de droite est nul. Pour le rectangle 5, le terme de droite est nul aussi mais dans le terme de gauche, une partie de l'intégrale se fait avec a=1/μ₀ (la partie dans le milieu 1 alors que l'autre partie se fait avec a=1/μ (la partie dans le fer doux). Pour le rectangle 6, le terme de droite est nul est a=1/μ₀. Pour le rectangle 7, l'intégrale de g sur la partie qui se trouve dans l'aimant est non nulle et a=1/μ₀.

5.b. Différences finies