Particule chargée dans un champ électrique axial

1. Introduction

Ce document traite le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique à symétrie axiale. On se limite au cas d'une trajectoire paraxiale, c'est-à-dire proche de l'axe de symétrie, et contenue dans un plan méridien. Un exemple simple permet de montrer le principe d'une lentille électrostatique.

2. Mise en équation

Un champ électrostatique axial (axe z) possède un potentiel V(r,z) où r désigne la distance à l'axe. On considère le champ dans une région vide de charges. On note Φ(z)=V(0,z) le potentiel du l'axe. Un développement limité à l'ordre 1 au voisinage de l'axe conduit aux composantes du champ électrique :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & E_z(r,z)=-\frac{d\Phi }{dz}\hfill & \hfill \text{(1)}\\ \hfill & E_r(r,z)=\frac{r}{2}\frac{d^2\Phi }{d{z}^2}\hfill & \hfill \text{(2)}\end{array}$$

La deuxième équation s'obtient en utilisant la conservation du flux du champ électrique (divergence nulle).

La particule, de charge q et de masse m, est supposée non relativiste, ce qui permet d'écrire les équations de Newton, pour une trajectoire inscrite dans un plan méridien :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=-q\frac{d\Phi }{dz}\hfill & \hfill \text{(3)}\\ \hfill & m\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=q\frac{r}{2}\frac{d^2\Phi }{d{z}^2}\hfill & \hfill \text{(4)}\end{array}$$

L'approximation paraxiale a permis d'utiliser les développements limités pour le champ électrique. Comme la vitesse de la particule est supposée peu inclinée par rapport à l'axe, l'énergie cinétique est pratiquement

$$E_c\simeq \frac{1}{2}m{v}_z^2\text{(5)}$$

On se place dans le cas où v_z>0. Initialement, la particule se trouve à une distance r₀ de l'axe, sans vitesse et dans une région où le potentiel est négligeable. La conservation de l'énergie mécanique conduit alors à :

$$v_z=\sqrt{\frac{-2q\Phi }{m}}\text{(6)}$$

On cherche la trajectoire sous la forme r(z). En calculant la dérivée et la dérivée seconde de cette fonction, et en utilisant les équations 3,4 et 6, on obtient l'équation différentielle suivante :

$$4\Phi \left(z\right)\frac{d^{2}r\left(z\right)}{d{z}^2}+2\frac{d\Phi \left(z\right)}{dz}\frac{dr\left(z\right)}{dz}+\frac{d^2\Phi \left(z\right)}{d{z}^2}r\left(z\right)=0\text{(7)}$$

La trajectoire (la courbe décrite) est ainsi indépendante de la charge de la masse de la particule. En revanche, sa vitesse dépend du rapport q/m.

Si r(z) est une trajectoire, αr(z) en est une autre. Il suffit donc de résoudre l'équation pour une condition initiale r(-z₀)=r₀ avec Φ(z₀)=0. Les trajectoires obtenues pour d'autres valeurs de r₀ s'en déduiront par homothétie. On constate par ailleurs que l'équation est inchangée si on multiplie le potentiel par une constante. Les trajectoires sont donc insensibles aux variations de différences de potentiels appliquées aux électrodes.

3. Exemple : champ d'un cercle chargé

Un exemple simple de champ coaxial est celui produit par un cercle (de rayon a) chargé uniformément. Le potentiel sur l'axe du cercle est :

$$\Phi \left(z\right)=\frac{{\Phi }_0}{\sqrt{1+(\frac{z}{a}{)}^2}}\text{(8)}$$

Lorsque les particules sont chargées positivement, il faut bien sûr choisir Φ₀<0. Ce choix de signe n'a toutefois aucune incidence sur l'équation différentielle, qui est linéaire par rapport au potentiel.

Les particules ont leur vitesse maximale lorsqu'elles passent au voisinage du centre du cercle :

$$v_{max}=\sqrt{\frac{-2q{\Phi }_0}{m}}\text{(9)}$$

Le calcul numérique sera fait en posant a=1, ce qui revient à utiliser des longueurs réduites par a. On choisit Φ₀=-1, ce qui permet de raisonner sur des charges positives.

phi=-1/Sqrt[1+z^2]
dphi=D[phi,z]
ddphi=D[dphi,z]
            

Voici le tracé du potentiel sur l'axe :

Plot[phi,{z,-10,10},AxesLabel->{"z","phi"},PlotRange->{{-10,10},{0,-1}}]

figA.pdf

du champ électrique axial (Ez)

Plot[-dphi,{z,-10,10},AxesLabel->{"z","Ez"}]

figB.pdf

du champ électrique radial (E_r) :

Plot[ddphi,{z,-10,10},AxesLabel->{"z","Er"},PlotRange->Full]

figC.pdf

On constate que loin du cercle ($\left|z\right|>\sqrt{2}a$) la composante radiale est négative, ce qui donne une force dirigée vers l'axe pour une particule de charge positive. Cela devrait permettre la focalisation de la particule mais il faudra voir l'effet de la zone proche du cercle où le champ radial est positif. Voyons ce qu'il en est en intégrant numériquement l'équation différentielle (7) :

z0=100
r0=0.01
equation={4*phi*r''[z]+2*dphi*r'[z]+ddphi*r[z]==0,r[-z0]==r0,r'[-z0]==0}
sol = NDSolve[equation,{r[z]},{z,-z0,z0}]
            

Plot[r[z]/.sol,{z,-z0,z0},AxesLabel->{"z/a","r/a"}]

figD.pdf

Les trajectoires obtenues pour d'autres valeurs de r₀ se déduisent par homothétie par rapport à r. Le point d'intersection avec l'axe est donc un point de convergence des différentes trajectoires, c'est-à-dire un foyer au sens de l'optique géométrique. Voyons le détail de la zone de convergence :

Plot[r[z]/.sol,{z,-10,10},AxesLabel->{"z/a","r/A"}]

figE.pdf

On voit sur cette figure l'effet de la zone de champ radial positif, qui ralentit légèrement la convergence vers l'axe mais sans empêcher la trajectoire de finalement rencontrer l'axe, à une distance du centre du cercle d'environ 4 fois le rayon du cercle. Une fois que la particule a franchi l'axe, elle continue à s'éloigner de l'axe bien que la composante radiale du champ soit négative, c.a.d. dirigée vers l'axe. Cela s'explique par l'inertie importante de la particule et par la décroissance rapide de l'intensité du champ électrique.

En conclusion, un cercle chargé consitue une lentille électrostatique convergente.