Référentiels

Changements de référentiels

1. Cinématique dans un référentiel

a. Référentiel

Système de points rigidement liés :

$P_{i} P_{j}$ est constante (indépendante du temps).

Un solide indéformable est un système de points rigidement liés.

Référentiel : système de points rigidement liés auquel les appareils de mesure sont liés.

Trois points non alignés et rigidement liés définissent entièrement un référentiel.

Exemples :

Référentiel terrestre
Référentiel d'un véhicule
Référentiel de Copernic

Point lié à un référentiel : point rigidement lié à tous les points du référentiel.

Vecteur $\vec{A B}$ lié à un référentiel : $A$ et $B$ sont liés au référentiel.

1. Cinématique dans un référentiel

a. Référentiel

b. Le temps en cinématique classique

Si les référentiels ont des vitesses relatives petites devant celle de la lumière, les temps donnés par les horloges liées aux différents référentiels sont identiques.

Le temps est absolu (indépendant du référentiel).

1. Cinématique dans un référentiel

a. Référentiel

b. Le temps en cinématique classique

c. Repère lié à un référentiel

Point $O$ et base orthonormée $({\vec{u}}_{x}, {\vec{u}}_{y}, {\vec{u}}_{z})$ liés au référentiel.

Une infinité de repères différents sont liés à un référentiel.

Un repère définit un référentiel : ensemble des points fixes dans ce repère.

1. Cinématique dans un référentiel

a. Référentiel

b. Le temps en cinématique classique

c. Repère lié à un référentiel

d. Cinématique du point dans un référentiel

Position d'un point $M$ dans un référentiel $R$ à l'instant $t$ : point lié à $R$ avec lequel le point $M$ coïncide à l'instant $t$.

On notera $P_M(t)$ ce point coïncidant pour un référentiel $R$.

On notera $P'_M(t)$ ce point coïncidant pour un référentiel $R'$.

Vecteur déplacement du point $M$ dans le référentiel $R$ entre deux instants $t_1$ et $t_2$ :

\vec{P_{M} (t_{1}) P_{M} (t_{2})}

En général, ce vecteur dépend du référentiel :

\vec{P_{M} (t_{1}) P_{M} (t_{2})} \neq \vec{P'_{M} (t_{1}) P'_{M} (t_{2})}

Trajectoire du point $M$ dans le référentiel $R$ : ensemble des points $P_M$ coïncidant avec $M$.

Mouvement du point $M$ dans le référentiel $R$ : à chaque point $P_M$ est associé le temps $t$ correspondant.

Exemple : deux référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre

/notebooks/numerique/mecanique/rotationReferentiel

rotationReferentiel

Vitesse du point $M$ dans le référentiel $R$ :

{\vec{v}}_{M / R} = lim_{Δ t \to 0} \frac{\vec{P_{M} (t) P_{M} (t + Δ t)}}{Δ t}

Si $O$ est un point fixe dans $R$ :

{\vec{v}}_{M / R} = (\frac{d \vec{O M}}{d t})_{R}

où il est sous-entendu que $\vec{O M} = \vec{O P_{M} (t)}$ .

$d \vec{O M}$ : déplacement élémentaire de $M$.

Utilisation d'un repère lié au référentiel :

\vec{O M} (t) = x (t) \vec{u_{x}} + y (t) \vec{u_{y}} + z (t) \vec{u_{z}}

{\vec{v}}_{M / R} = (\frac{d \vec{O M}}{d t})_{R} = \frac{d x}{d t} \vec{u_{x}} + \frac{d y}{d t} \vec{u_{y}} + \frac{d z}{d t} \vec{u_{z}}

{\vec{a}}_{M / R} = (\frac{d {\vec{v}}_{M / R}}{d t})_{R} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} \vec{u_{x}} + \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \vec{u_{y}} + \frac{d^{2} z}{d t^{2}} \vec{u_{z}}

Coordonnées cylindriques $(r, θ, z)$ .

Base locale mobile $({\vec{u}}_{r}, {\vec{u}}_{θ}, {\vec{u}}_{z})$ .

Une base n'est pas toujours liée au référentiel.

Exemple : mouvement circulaire uniforme.

...

2. Référentiels en mouvement de translation

a. Définition

Notations :

$R$ un référentiel.

$R'$ un référentiel en mouvement par rapport à $R$.

$P$ un point lié à $R$.

$P'$ un point lié à $R'$.

$P_{P'}(t)$ le point lié à $R$ coïncidant avec $P'$ à l'instant $t$.

Translation de vecteur $\vec{T}$ : transformation qui à tout point $P$ associe le point $Q$ tel que $\vec{P Q} = \vec{T}$ .

Le référentiel $R'$ est en mouvement de translation par rapport à $R$ si, pour tous instants $t_{1}$ et $t_{2}$ et pour tout $P'$ lié à $R'$, le vecteur déplacement de $P'$ dans $R$ ne dépend pas de $P'$ :

\vec{P_{P'} (t_{1}) P_{P'} (t_{2})} = \vec{T} (t_{1}, t_{2})

Translation de vecteur $\vec{T} (t_{1}, t_{2})$ .

À tout instant, tous les points liés à $R'$ ont la même vitesse dans $R$ :

{\vec{v}}_{P' / R} (t) = {\vec{v}}_{O' / R} (t)

Un mouvement de translation de $R'$ par rapport à $R$ est entièrement défini par la donnée du mouvement dans $R$ d'un point quelconque $P'$ lié à $R'$.

Tout vecteur lié à $R'$ est constant dans $R$.

Une base $(\vec{u}'_{x}, \vec{u}'_{y}, \vec{u}'_{y})$ liée à $R'$ est fixe dans $R$.

Cas particuliers : mouvements translation rectiligne, de translation rectiligne et uniforme.

Référentiels de mécanique céleste :

Copernic : centre de masse du système solaire et 2 étoiles très lointaines.
Héliocentrique : centre de masse du Soleil, en mouvement de translation par rapport à $R_C$.
Géocentrique : centre de masse de la Terre, en mouvement de translation par rapport à $R_H$ et à $R_C$.

2. Référentiels en mouvement de translation

a. Définition

b. Composition des vitesses

Relation entre la vitesse d'un point dans $R$ et sa vitesse dans $R'$ ?

...

{\vec{v}}_{M / R} = {\vec{v}}_{e} + {\vec{v}}_{M / R'}

La vitesse d'entraînement ${\vec{v}}_{e}$ est la vitesse dans $R$ du point coïncidant $P'_M(t)$.

La vitesse d'entraînement à l'instant $t$ est la vitesse dans $R$ d'un point quelconque lié à $R'$.

2. Référentiels en mouvement de translation

a. Définition

b. Composition des vitesses

c. Composition des accélérations

Relation entre l'accélération d'un point dans $R$ et son accélération dans $R'$ ?

...

{\vec{a}}_{M / R} = {\vec{a}}_{e} + {\vec{a}}_{M / R'}

L'accélération d'entraînement ${\vec{a}}_{e}$ est l'accélération dans $R$ du point coïncidant $P'_M(t)$.

L'accélération d'entraînement à l'instant $t$ est l'accélération dans $R$ d'un point quelconque lié à $R'$.

Pour un mouvement de translation, la vitesse et l'accélération d'entraînement à l'instant $t$ sont indépendantes de la position du point $M$.

3. Référentiels en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe

a. Définition

Un référentiel $R'$ est en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe dans $R$ (axe $Oz$) si tout point $P'$ lié à $R'$, dont le projeté orthogonal sur l'axe de rotation est noté $H$, décrit dans $R$ un cercle de centre $H$ inscrit dans un plan orthogonal à cet axe, à la vitesse angulaire $ω$ constante.

En coordonnées cylindriques par rapport à l'axe de rotation :

{\vec{v}}_{P' / R} = r ω {\vec{u}}_{θ}

Exemples :

Référentiel d'un manège (plateau horizontal tournant) par rapport au référentiel terrestre.
Référentiel terrestre par rapport au référentiel géocentrique.

3. Référentiels en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe

a. Définition

b. Vecteur vitesse angulaire

Vecteur vitesse angulaire de $R'$ par rapport à $R$ (ou vecteur rotation) :

{\vec{Ω}}_{R' / R} = ω {\vec{u}}_{z}

Vitesse dans $R$ d'un point lié à $R'$ :

{\vec{v}}_{P' / R} = {\vec{Ω}}_{R' / R} \land \vec{H P'} = {\vec{Ω}}_{R' / R} \land \vec{O P'}

Si $P'$ et $Q'$ sont liés à $R'$ :

(\frac{\vec{d P' Q'}}{d t})_{R} = {\vec{Ω}}_{R' / R} \land \vec{P' Q'}

Si $(\vec{u}'_{x}, \vec{u}'_{y}, \vec{u}'_{y})$ est une base orthonormée liée à R' :

(\frac{d \vec{u_{x'}}}{d t})_{R} = {\vec{Ω}}_{R' / R} \land \vec{u_{x'}}

3. Référentiels en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe

a. Définition

b. Vecteur vitesse angulaire

c. Composition des vitesses

Relation entre la vitesse d'un point dans $R$ et sa vitesse dans $R'$ ?

...

{\vec{v}}_{M / R} = {\vec{v}}_{e} (M) + {\vec{v}}_{M / R'}

La vitesse d'entraînement ${\vec{v}}_{e}$ est la vitesse dans $R$ du point coïncidant $P'_M(t)$.

Même relation que pour les référentiels en translation.

Mais la vitesse d'entraînement dépend de la position du point $M$ :

{\vec{v}}_{e} (M) = r ω {\vec{u}}_{θ} = {\vec{Ω}}_{R' / R} \land \vec{O M}

3. Référentiels en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe

a. Définition

b. Vecteur vitesse angulaire

c. Composition des vitesses

d. Composition des accélérations

Relation entre l'accélération d'un point dans $R$ et son accélération dans $R'$ ?

...

{\vec{a}}_{M / R} = {\vec{a}}_{e} (M) + 2 {\vec{Ω}}_{R' / R} \land {\vec{v}}_{M / R'} + {\vec{a}}_{M / R'}

L'accélération d'entraînement est l'accélération dans $R$ du point coïncidant $P'_M(t)$.

Le point coïcindant décrit dans $R$ un mouvement circulaire uniforme :

{\vec{a}}_{e} (M) = - r ω^{2} {\vec{u}}_{r}

Pour un mouvement de rotation, la vitesse et l'accélération d'entraînement à l'instant $t$ dépendent de la position du point $M$.

Accélération de Coriolis

{\vec{a}}_{c} = 2 {\vec{Ω}}_{R' / R} \land {\vec{v}}_{M / R'} (t)

Pas d'accélération de Coriolis pour un référentiel en mouvement de translation.

Expression générale de l'accélération d'entraînement :

{\vec{a}}_{e} (M) = {\vec{Ω}}_{R' / R} \land ({\vec{Ω}}_{R' / R} \land \vec{O} M)

Dans la plupart des cas, utiliser le point coïncidant.