Référentiels

Référentiels non galiléens

1. Postulats de la mécanique classique

a. Principe d'inertie et référentiels galiléens

$\def\vect#1{\overrightarrow{#1}}$

Principe d'inertie : dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé de toute action extérieure est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme.

Un référentiel galiléen est aussi qualifié de référentiel inertiel.

Si $R$ est galiléen, pour tout point matériel $M$ isolé ${\vec{a}}_{M / R} = \vec{0}$ .

Si $R'$ est en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à $R$ : ${\vec{a}}_{M / R'} = {\vec{a}}_{M / R} = \vec{0}$ donc le principe d'inertie est vrai dans $R'$.

La réciproque est vraie (admis).

Si $R$ est galiléen, un référentiel $R'$ est galiléen si et seulement si $R'$ est en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à $R$.

Les référentiels galiléens forment une classe de référentiels, en mouvement de translation rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres.

Aucun référentiel connu n'est parfaitement galiléen.

Les référentiels réels peuvent être quasi inertiels, sous certaines conditions d'échelle d'espace et de temps.

Le référentiel de Copernic peut être considéré comme galiléen pour l'étude des phénomènes se déroulant dans le système solaire pendant des durées de plusieurs siècles.

1. Postulats de la mécanique classique

a. Principe d'inertie et référentiels galiléens

b. Deuxième loi de Newton

Dans un référentiel $R$ galiléen, l'accélération d'un point matériel multipliée par sa masse inertielle est égale à la somme des forces (vecteurs) qui agissent sur ce point :

m {\vec{a}}_{M / R} = \sum_{i} \vec{F_{i}}

Exemples de forces :

Force gravitationnelle
Forces électromagnétiques
Forces de contact

Théorème de la quantité de mouvement pour un système fermé de centre de masse $C$ :

m \frac{d {\vec{v}}_{C / R}}{d t} = \sum_{i} \vec{F_{i}^{e x t}}

Somme des forces extérieures qui agissent sur le système. Les forces intérieures se compensent (troisième loi de Newton).

1. Postulats de la mécanique classique

a. Principe d'inertie et référentiels galiléens

b. Deuxième loi de Newton

c. Principe de relativité de Galilée

Une expérience de mécanique donne les mêmes résultats dans deux référentiels en mouvement relatif de translation rectiligne et uniforme.

Aucune expérience réalisée dans l'avion ne permet de détecter son mouvement par rapport à la Terre.

Aucune expérience réalisée dans un référentiel galiléen ne permet de détecter son mouvement par rapport à un autre référentiel galiléen.

Si $R$ est galiléen : $m {\vec{a}}_{M / R} = \vec{F}$ .

D'après le principe de relativité, l'accéleration de $M$ est la même dans $R$ et dans $R'$.

Conséquence : la force $\vec{F}$ est la même dans $R$ et dans $R'$.

Les forces sont invariantes par changement de référentiel galiléen.

1. Postulats de la mécanique classique

a. Principe d'inertie et référentiels galiléens

b. Deuxième loi de Newton

c. Principe de relativité de Galilée

d. Forces de gravité

Champ de gravité créé par une masse sphérique $m_o$ centrée au point $O$ :

$$\vect{\mathcal{G}}=-\frac{Gm_o}{r^2}\vect{u_r}$$

Force de gravité sur un point matériel : $\vect F=m_g\vect{\mathcal{G}}$

Équivalence des masses gravitationnelles et inertielles :

m_{g} = m

2. Référentiel non galiléen en mouvement de translation

a. Force d'inertie d'entraînement

Référentiels $R$ galiléen et $R'$ en mouvement de translation par rapport à $R$.

Deuxième loi de Newton dans $R'$ :

m {\vec{a}}_{M / R'} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i} - m {\vec{a}}_{e}

Force d'inertie d'entraînement dans $R'$ :

{\vec{f}}_{i e} = - m {\vec{a}}_{e}

Force similaire à une force de gravité dans un champ uniforme :

{\vec{g}}_{e} (t) = - {\vec{a}}_{e} (t)

La force d'inertie dépend du référentiel (pseudo-force).

Les autres forces ne dépendent pas du référentiel.

La force de pesanteur dans un référentiel est la somme des forces gravitationnelles et des forces d'inertie d'entraînement.

Champ de pesanteur dans $R'$ :

\vec{g}' (t) = \vec{g} + {\vec{g}}_{e} (t) = \vec{g} - {\vec{a}}_{e} (t)

où $\vec{g}$ est le champ de pesanteur dans $R$.

Référentiel d'un véhicule en freinage

Avion de chasse en accélération

$\vec{g}'$ est le champ de pesanteur mesuré dans R'.

Un dispositif lié à R' ne peut pas mesurer le champ de pesanteur dans R.

2. Référentiel non galiléen en mouvement de translation

a. Force d'inertie d'entraînement

b. Principe de l'accéléromètre

Déplacement de la masse à l'équilibre :

0 = - K X' + m (\vec{g} - {\vec{a}}_{e}) \cdot {\vec{u}}_{x'}

Mesure de $({\vec{a}}_{e} - \vec{g}) \cdot {\vec{u}}_{x'}$ : opposé du champ de pesanteur dans le référentiel de l'accéléromètre.

Un accéléromètre mesure le champ de pesanteur dans le référentiel auquel il est lié (l'opposé).

Si l'accéléromètre se déplace par rapport à un référentiel où la pesanteur est nulle, il mesure son accélération par rapport à ce référentiel.

2. Référentiel non galiléen en mouvement de translation

a. Force d'inertie d'entraînement

b. Principe de l'accéléromètre

c. Référentiel en chute libre

Dans le référentiel $R'$, champ de pesanteur pour un point $M$ :

\vec{g}' (M) = \vec{g} (M) - \vec{g} (C) \approx \vec{0}

car $\vec{g}$ est quasi uniforme à l'échelle de la cabine.

Quasi apesanteur dans le référentiel de la cabine.

Un observateur dans la cabine, ne connaissant pas l'existence de la Terre, observe l'état de quasi-inertie de la balle et en conclut que le référentiel de la cabine est quasi galiléen.

Pour un observateur terrestre, $R'$ n'est pas du tout galiléen.

2. Référentiel non galiléen en mouvement de translation

a. Force d'inertie d'entraînement

b. Principe de l'accéléromètre

c. Référentiel en chute libre

d. Référentiel en mouvement gravitationnel

Accélération du centre de la Terre dans le référentiel de Copernic :

$$\vect a_{T/R_c}=\vect{\mathcal{G}_s}(T)+\vect{\mathcal{G}_l}(T)$$

$\vect{\mathcal{G}_s}$ : champ de gravitation du Soleil

$\vect{\mathcal{G}_l}$ : champ de gravitation de la Lune

Dans le référentiel géocentrique, force d'inertie d'entraînement sur un point matériel :

$$\vect f_{ie}=-m\vect{\mathcal{G}_s}(T)-m\vect{\mathcal{G}_l}(T)$$

quasi opposée aux forces de gravitation (solaire et lunaire) si $M$ est proche de $T$.

À proximité du centre de la Terre, le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen si l'on ignore l'attraction des autres corps .

Force résiduelle de marée dans $R_g$ :

$$m(\vect{\mathcal{G}_s}(M)-\vect{\mathcal{G}_s}(T))+m(\vect{\mathcal{G}_l}(M)-\vect{\mathcal{G}_l}(T))$$

Force responsable des marées océaniques.

Exemple : mouvement d'un satellite terrestre dans le référentiel $R_g$.

En première approximation, les attractions solaire et lunaire sont ignorées et $R_g$ est supposé galiléen.

Pour une étude plus précise, il faut tenir compte des forces de marée dans $R_g$.

Le référentiel de Copernic est quasi galiléen si l'on ignore l'attraction des corps extérieurs au système solaire.

Accélération du système solaire dans le référentiel galactique : $\mathcal{G}_g(S)\approx 10^{-10}\,\rm m\cdot s^{-2}$

Accélération de la Terre dans le référentiel de Copernic : $\mathcal{G}_s(T)\approx 6\cdot 10^{-3}\,\rm m\cdot s^{-2}$

Forces de marée dans $R_c$ extrêmement faibles mais effet possible sur l'évolution à long terme du système solaire.

3. Référentiel non galiléen en mouvement de rotation uniforme

a. Force d'inertie d'entraînement centrifuge

Référentiels $R$ galiléen et $R'$ en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe par rapport à $R$.

Deuxième loi de Newton dans $R'$ :

m {\vec{a}}_{M / R'} = \sum_{i} {\vec{F}}_{i} - m {\vec{a}}_{e} - m {\vec{a}}_{c}

Force d'inertie d'entraînement centrifuge

{\vec{f}}_{i e} = - m {\vec{a}}_{e} = m r ω^{2} \vec{u_{r}} = m ω^{2} \vec{H M}

3. Référentiel non galiléen en mouvement de rotation uniforme

a. Force d'inertie d'entraînement centrifuge

b. Force d'inertie de Coriolis

Force d'inertie de Coriolis :

{\vec{f}}_{i c} = - 2 m {\vec{Ω}}_{R' / R} \land {\vec{v}}_{M / R'}

${\vec{v}}_{M / R'}$ est la vitesse du point matériel dans le référentiel en rotation par rapport au référentiel galiléen.

Puissance de la force de Coriolis :

(- 2 m {\vec{Ω}}_{R' / R} \land {\vec{v}}_{M / R'}) \cdot {\vec{v}}_{M / R'} = 0

La force de Coriolis n'a pas d'effet direct sur l'énergie cinétique mais elle change la direction de la vitesse.

3. Référentiel non galiléen en mouvement de rotation uniforme

a. Force d'inertie d'entraînement centrifuge

b. Force d'inertie de Coriolis

c. Le référentiel terrestre

En première approximation le référentiel terrestre est en rotation uniforme d'axe fixe par rapport au référentiel géocentrique, supposé galiléen.

{\vec{Ω}}_{R_{t} / R_{g}} = ω {\vec{u}}_{z} = \frac{2 π}{T} {\vec{u}}_{z}

${\vec{u}}_{z}$ : axe sud-nord

$T$ : période de rotation (23 h 56 min 4 s)

Sur plusieurs milliers d'années, le changement de l'axe de rotation n'est pas négligeable (précession des équinoxes, de période 26 000 ans).

Dans l'hypothèse où le référentiel géocentrique est galiléen, le champ de pesanteur dans le référentiel terrestre est :

$$\vect{g}=\vect{\mathcal{G}_t}+r\omega^2\vect u_r$$

Champ quasi uniforme à petite échelle.

Dans le référentiel terrestre, la force de gravité est expérimentalement indiscernable de la force d'inertie.

En réalité, le référentiel géocentrique n'est pas galiléen donc le champ de pesanteur comporte la contribution des forces de marée.

Ordres de grandeur des effets non galiléens dans le référentiel terrestre est :

À l'équateur $r\omega^2=3{,}4\cdot 10^{-2}\,\rm m\cdot s^{-2}$.
Pour $v=10\,\rm m\cdot s^{-1}$, $2\omega v=1{,}5\cdot 10^{-3}\,\rm m\cdot s^{-2}$.
Champ de marée $\approx 10^{-6}\,\rm m\cdot s^{-2}$.

4. Annexe : forces conservatives

Force conservative : le travail entre deux positions $A$ et $B$ du point matériel ne dépend pas de la trajectoire entre $A$ et $B$.

Possibilité de définir une énergie potentielle $\mathcal E_p(x,y,z)$ telle que :

W_{A B} = E_{p} (A) - E_{p} (B)

Les forces d'inertie sont-elles conservatives ?

${\vec{f}}_{i e}$ conservative si elle ne dépend pas du temps.

${\vec{f}}_{i c}$ conservative car son travail est nul ($\mathcal E_p=0$).

Exemple : $R'$ en mouvement de translation par rapport à $R$ galiléen, lorsque ${\vec{a}}_{e}$ est constante :

E_{p, i e} (x, y, z) = m {\vec{a}}_{e} \cdot \vec{O M}