Toupie sur un plan

2.a. Cinématique

La figure suivante représente la toupie, dont la pointe est assimilée à une sphère. On note C le centre de cette sphère et r son rayon. Le centre de masse de la toupie est noté G et on définit la distance L = CG. Soit R_s=(Gx_sy_sz_s) le repère lié au solide formé des axes propres du tenseur d'inertie au point G; l'axe Gz_s est l'axe de symétrie de la toupie, contenant le point C. Soit P le point de contact avec le plan.

Le repère d'espace R=(Oxyz) est lié au support, lequel est supposé constituer un référentiel inertiel. L'axe Oz est choisi perpendiculaire au plan et fait un angle α par rapport à la direction verticale (plan incliné).

Figure pleine page

L'orientation de la toupie est définie par la matrice orthogonale Q dont les éléments sont notés q_ij. On utilisera également les angles d'Euler $(\phi ,\theta ,\psi )$. Cette matrice permet de calculer les composantes d'un vecteur dans le repère R en fonction des composantes dans R_s. On a par exemple :

$$\overrightarrow{C}G=L(q_{13}{\overrightarrow{e}}_x+q_{23}{\overrightarrow{e}}_y+q_{33}{\overrightarrow{e}}_z)\text{(1)}$$

La hauteur du centre de masse est :

$$z_G=Lcos\theta +r=L{q}_{33}+r\text{(2)}$$

La vitesse du point de contact est :

$${\overrightarrow{v}}_P={\overrightarrow{v}}_G+\overrightarrow{\omega }\wedge \overrightarrow{G}P\text{(3)}$$

Les composantes de la vitesse angulaire sur le repère d'espace sont :

$$\omega ={({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)}^T\text{(4)}$$

On en déduit les composantes de la vitesse du point de contact :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & v_{Px}=v_x-{\omega }_2(L{q}_{33}+r)+{\omega }_{3}L{q}_{23}\hfill & \hfill \text{(5)}\\ \hfill & v_{Py}=v_y+{\omega }_1(L{q}_{33}+r)-{\omega }_{3}L{q}_{13}\hfill & \hfill \text{(6)}\\ \hfill & v_{Pz}=v_z-{\omega }_{1}L{q}_{23}+{\omega }_{2}L{q}_{13}\hfill & \hfill \text{(7)}\end{array}$$

On introduit les composantes de la vitesse angulaire dans le repère du solide avec

$${({\omega }_1,{\omega }_2,{\omega }_3)}^T=Q{({\omega }_{s1},{\omega }_{s2},{\omega }_{s3})}^T\text{(8)}$$

La vitesse de glissement est donc :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & v_{Px}=v_x-(q_{21}{\omega }_{s1}+q_{22}{\omega }_{s2}+q_{23}{\omega }_{s3})(L{q}_{33}+r)+(q_{31}{\omega }_{s1}+q_{32}{\omega }_{s2}+q_{33}{\omega }_{s3})L{q}_{23}\hfill & \hfill \text{(9)}\\ \hfill & v_{Py}=v_y+(q_{11}{\omega }_{s1}+q_{12}{\omega }_{s2}+q_{13}{\omega }_{s3})(L{q}_{33}+r)-(q_{31}{\omega }_{s1}+q_{32}{\omega }_{s2}+q_{33}{\omega }_{s3})L{q}_{13}\hfill & \hfill \text{(10)}\end{array}$$

2.b. Théorème de la résultante cinétique

Soit N la réaction normale du plan au point P et T la force de frottement. Le théorème de la résultante cinétique s'écrit :

$$m\frac{d{\overrightarrow{v}}_G}{dt}=\overrightarrow{N}+\overrightarrow{T}+m\overrightarrow{g}\text{(11)}$$

En projection sur le repère d'espace, on en déduit les trois équations suivantes

$$\begin{array}{ccc}\hfill & m\frac{d{v}_x}{dt}=T_x+mgsin\alpha \hfill & \hfill \text{(12)}\\ \hfill & m\frac{d{v}_y}{dt}=T_y\hfill & \hfill \text{(13)}\\ \hfill & m\frac{d{v}_z}{dt}=N_z-mgcos\alpha \hfill & \hfill \text{(14)}\end{array}$$

La dernière équation permet d'exprimer la force normale en fonction de q₃₃ :

$$N_z=mL\frac{d^2{q}_{33}}{d{t}^2}+mgcos\alpha \text{(15)}$$

On exclue la possibilité d'un mouvement sans glissement de la toupie. Soit f le coefficient de frottement entre la pointe et le plan. La force de frottement est donnée en fonction de la vitesse de glissement calculée plus haut par :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & T_x=-f\left|N_z\right|\frac{v_{Px}}{\sqrt{v_{Px}^2+v_{Py}^2}}\hfill & \hfill \text{(16)}\\ \hfill & T_y=-f\left|N_z\right|\frac{v_{Py}}{\sqrt{v_{Px}^2+v_{Py}^2}}\hfill & \hfill \text{(17)}\end{array}$$

2.c. Théorème du moment cinétique

Le théorème du moment cinétique au centre de masse s'écrit :

$$\frac{d\overrightarrow{\sigma }}{dt}=\overrightarrow{G}P\wedge (\overrightarrow{N}+\overrightarrow{T})\text{(18)}$$

Les composantes du moment des forces dans le repère d'espace sont donc :

$$n=\left(\begin{array}{c}\hfill n_1\hfill \\ \hfill n_2\hfill \\ \hfill n_3\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\hfill -L{q}_{23}{N}_z+(L{q}_{33}+r)T_y\hfill \\ \hfill L{q}_{13}{N}_z-(L{q}_{33}+r)T_x\hfill \\ \hfill -L{q}_{13}{T}_y+L{q}_{23}{T}_x\hfill \end{array}\right)\text{(19)}$$

Les composantes du moment dans le repère du solide sont :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & n_{1s}=q_{11}{n}_1+q_{21}{n}_2+q_{31}{n}_3\hfill & \hfill \text{(20)}\\ \hfill & n_{2s}=q_{12}{n}_1+q_{22}{n}_2+q_{32}{n}_3\hfill & \hfill \text{(21)}\\ \hfill & n_{3s}=q_{13}{n}_1+q_{23}{n}_2+q_{33}{n}_3\hfill & \hfill \text{(22)}\end{array}$$

Le théorème du moment cinétique écrit en projection sur le repère du solide conduit aux équations d'Euler :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & I_1\frac{d{\omega }_{s1}}{dt}={\omega }_{s2}{\omega }_{s3}(I_2-I_3)+n_{s1}\hfill & \hfill \text{(23)}\\ \hfill & I_2\frac{d{\omega }_{s2}}{dt}={\omega }_{s3}{\omega }_{s1}(I_3-I_1)+n_{s2}\hfill & \hfill \text{(24)}\\ \hfill & I_3\frac{d{\omega }_{s3}}{dt}={\omega }_{s1}{\omega }_{s2}(I_1-I_2)+n_{s3}\hfill & \hfill \text{(25)}\end{array}$$

La symétrie de révolution de la toupie autour de l'axe z_s impose I₁=I₂.

2.d. Système différentiel

Le système différentiel est tout d'abord constitué des 3 équations d'Euler ci-dessus et des 9 équations suivantes pour la transformation orthogonale :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \frac{d{q}_{11}}{dt}={\omega }_{s3}{q}_{12}-{\omega }_{s2}{q}_{13}\hfill & \hfill \text{(26)}\\ \hfill & \frac{d{q}_{12}}{dt}=-{\omega }_{s3}{q}_{11}+{\omega }_{s1}{q}_{13}\hfill & \hfill \text{(27)}\\ \hfill & \frac{d{q}_{13}}{dt}={\omega }_{s2}{q}_{11}-{\omega }_{s1}{q}_{12}\hfill & \hfill \text{(28)}\\ \hfill & \frac{d{q}_{21}}{dt}={\omega }_{s3}{q}_{22}-{\omega }_{s2}{q}_{23}\hfill & \hfill \text{(29)}\\ \hfill & \frac{d{q}_{22}}{dt}=-{\omega }_{s3}{q}_{21}+{\omega }_{s1}{q}_{23}\hfill & \hfill \text{(30)}\\ \hfill & \frac{d{q}_{23}}{dt}={\omega }_{s2}{q}_{21}-{\omega }_{s1}{q}_{22}\hfill & \hfill \text{(31)}\\ \hfill & \frac{d{q}_{31}}{dt}={\omega }_{s3}{q}_{32}-{\omega }_{s2}{q}_{33}\hfill & \hfill \text{(32)}\\ \hfill & \frac{d{q}_{32}}{dt}=-{\omega }_{s3}{q}_{31}+{\omega }_{s1}{q}_{33}\hfill & \hfill \text{(33)}\\ \hfill & \frac{d{q}_{33}}{dt}={\omega }_{s2}{q}_{31}-{\omega }_{s1}{q}_{32}\hfill & \hfill \text{(34)}\end{array}$$

On ajoute les 4 équations suivantes, correspondant au mouvement du centre de masse :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \frac{dx}{dt}=v_x\hfill & \hfill \text{(35)}\\ \hfill & \frac{dy}{dt}=v_y\hfill & \hfill \text{(36)}\\ \hfill & \frac{d{v}_x}{dt}=\frac{T_x}{m}+gsin\alpha \hfill & \hfill \text{(37)}\\ \hfill & \frac{d{v}_y}{dt}=\frac{T_y}{m}\hfill & \hfill \text{(38)}\end{array}$$

Malheureusement, ce système n'est pas explicitement du premier ordre. En effet la force de frottement et le moment des forces font intervenir la force N_z calculée par la relation suivante :

$$N_z=mL\frac{d^2{q}_{33}}{d{t}^2}+mgcos\alpha \text{(39)}$$

En dérivant l'équation (36) par rapport au temps, on a

$$\frac{d^2{q}_{33}}{d{t}^2}=\frac{d{\omega }_{s2}}{dt}{q}_{31}+{\omega }_{s2}\frac{d{q}_{31}}{dt}-\frac{d{\omega }_{s1}}{dt}{q}_{32}-{\omega }_{s1}\frac{d{q}_{32}}{dt}\text{(40)}$$

Lors de l'évaluation des dérivées (équations 25 à 40), il faut donc avoir accès aux dérivées de la vitesse angulaire calculées au pas de temps précédent. Les solveurs utilisés communément, comme celui de Scilab, n'offrent pas cette possibilité. Il faudra donc écrire un solveur sur mesure.

Une autre approche consiste à supposer que l'accélération selon z du centre de masse est petite par rapport à l'accélération de la pesanteur. Cette hypothèse est très probablement vérifiée lorsque la toupie est en mouvement de précession. On a alors en première approximation :

$$N_z\simeq mgcos\alpha \text{(41)}$$

Une fois les dérivées évaluées en utilisant cette approximation, on peut calculer une valeur corrigée de N_z avec les équations (42) et (41), puis recommencer le calcul si l'écart par rapport à (43) est trop fort.

2.e. Paramètres

On définit les paramètres suivants

$$\begin{array}{ccc}\hfill & i=\frac{I_3}{I_1}=\frac{I_3}{I_2}\hfill & \hfill \text{(42)}\\ \hfill & a={\omega }_A^2=\frac{mgL}{I_3}\hfill & \hfill \text{(43)}\\ \hfill & b={\omega }_B^2=\frac{g}{L}\hfill & \hfill \text{(44)}\end{array}$$

L'unité des forces est choisie égale à mg et l'unité de longueur égale à L. L'équation (41) devient donc :

$$N_z=\frac{1}{b}\frac{d^2{q}_{33}}{d{t}^2}+cos\alpha \text{(45)}$$

Les équations d'Euler s'écrivent :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \frac{d{\omega }_{s1}}{dt}=(1-i){\omega }_{s2}{\omega }_{s3}+ai{n}_{s1}\hfill & \hfill \text{(46)}\\ \hfill & \frac{d{\omega }_{s2}}{dt}=(i-1){\omega }_{s3}{\omega }_{s1}+ai{n}_{s2}\hfill & \hfill \text{(47)}\\ \hfill & \frac{d{\omega }_{s3}}{dt}=a{n}_{s3}\hfill & \hfill \text{(48)}\end{array}$$

Les équations (39) et (40) s'écrivent :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \frac{d{v}_x}{dt}=b(T_x+sin\alpha )\hfill & \hfill \text{(49)}\\ \hfill & \frac{d{v}_y}{dt}=b{T}_y\hfill & \hfill \text{(50)}\end{array}$$

L'unité de temps sera fixée par la vitesse de rotation initiale de la toupie ω₀=2π. Pour une toupie rapide, les paramètres a et b sont petits.