N ondes

Interférences à N ondes

1. Interférences d'ondes quasi monochromatiques

a. Cas général

Hypothèses :

N ondes cohérentes.
Différences de marche petites devant la longueur de cohérence.
Intensités égales.

Conséquence : les N ondes peuvent être considérées comme parfaitement monochromatiques.

Amplitudes lumineuses complexes :

{\underset{̲}{a}}_{m} = A_{0} e^{i (φ_{m} - ω t)}

Amplitudes complexes :

{\underset{̲}{A}}_{m} = A_{0} e^{i φ_{m}}

Superposition des N ondes :

\underset{̲}{A} = A_{0} \sum_{m = 0}^{N - 1} e^{i φ_{m}}

Intensité :

I = \frac{1}{2} \underset{̲}{A} {\underset{̲}{A}}^{*}

1. Interférences d'ondes quasi monochromatiques

a. Cas général

b. Phases en progression arithmétique

Amplitude complexe : série géométrique

\underset{̲}{A} = A_{0} \sum_{m = 0}^{N - 1} e^{i m φ} = A_{0} \sum_{m = 0}^{N - 1} (e^{i φ})^{m}

Interférences constructives des N ondes :

\begin{matrix} φ = 2 π p (p \in ℤ) \\ \underset{̲}{A} = N A_{0} \\ I = I_{m a x} = N^{2} I_{0} \end{matrix}

\begin{matrix} \underset{̲}{A} = A_{0} \frac{1 - e^{i N φ}}{1 - e^{i φ}} \\ \underset{̲}{A} = A_{0} \frac{e^{i N \frac{φ}{2}}}{e^{i \frac{φ}{2}}} \frac{e^{- i N \frac{φ}{2}} - e^{i N \frac{φ}{2}}}{e^{- i \frac{φ}{2}} - e^{i \frac{φ}{2}}} \\ \underset{̲}{A} = N A_{0} e^{i (N - 1) \frac{φ}{2}} \frac{sin (N \frac{φ}{2})}{N sin (\frac{φ}{2})} \\ I = I_{m a x} (\frac{sin (N \frac{φ}{2})}{N sin (\frac{φ}{2})})^{2} \end{matrix}

Courbe d'intensité

1. Interférences d'ondes quasi monochromatiques

a. Cas général

b. Phases en progression arithmétique

c. Finesse des franges brillantes

Bords de la frange brillante :

N \frac{φ}{2} = \pm π

Largeur de la frange brillante :

Δ p = \frac{2}{N}

La finesse des franges brillantes est l'inverse de N.

Très grande sélectivité si N est grand.

1. Interférences d'ondes quasi monochromatiques

a. Cas général

b. Phases en progression arithmétique

c. Finesse des franges brillantes

d. Résolution spectrale

Courbe d'intensité pour trois longueurs d'onde

2. Réseau de diffraction

a. Réseau de fentes

Expérience de Young réalisée avec N fentes.

Ordres de grandeur :

100 à 1000 traits par millimètre
$a$ : 1 à 10 micromètres
N de 1000 à 100000

2. Réseau de diffraction

a. Réseau de fentes

b. Montage optique

Axe y parallèle à la fente du collimateur et aux fentes du réseau.

Projection dans le plan $(O x z)$ :

La fente est dans le plan focal objet du collimateur donc les rayons incidents sur le réseau sont parallèles.
L'observation se fait à l'infini donc on considère des rayons diffractés parallèles.

Système équivalent :

Source ponctuelle : onde incidente plane.
Réseau équivalent à N sources ponctuelles cohérentes, en phase avec l'onde incidente.

Différence de phase entre les rayons $m$ et $m + 1$ :

\begin{matrix} φ & = \frac{2 π}{λ} (S_{m + 1} B - S_{m + 1} A) \\ = \frac{2 π}{λ} a (sin (α) - sin (i)) \end{matrix}

Position angulaire de la raie brillante d'ordre $p (p \in ℤ)$ :

sin (α_{p}) - sin (i) = p \frac{λ}{a}

Interférences avec un réseau

2. Réseau de diffraction

a. Réseau de fentes

b. Montage optique

c. Spectroscopie

Lampe à vapeur Mercure-Cadmium : ordre 0, 1 et 2 (partiel) :

Ordre 0 : image de la fente source.

Diffraction par un réseau avec une lampe à vapeur de mercure

Mesure directe de la longueur d'onde d'une raie

Réglage de l'angle d'incidence pour avoir la symétrie par rapport à l'ordre 0 :

\begin{matrix} α_{p} - i = - (α_{- p} - i) \\ i = 0 \end{matrix}

Mesure de $α_{p}$ et $α_{- p}$ . Calcul de la longueur d'onde :

λ = \frac{a}{p} sin (\frac{α_{p} - α_{- p}}{2})

Spectre à l'ordre 1. Étalonnage avec un spectre connu (par ex. Hg).

Spectroscopie avec un réseau

2. Réseau de diffraction

a. Réseau de fentes

b. Montage optique

c. Spectroscopie

d. Diffraction avec un laser

Diffraction par un réseau avec deux lasers