Interférométrie stellaire

2.a. Expérience des trous d'Young avec une source ponctuelle

L'expérience des trous de Young permet de comprendre le principe de la méthode interférométrique. On considère un télescope, qu'on représentera par une lentille mince convergente, qui fait l'image d'un objet ponctuel à l'infini dans son plan focal. L'objet est supposé monochromatique, de longueur d'onde λ. L'onde reçue par le télescope est une onde plane de vecteur d'onde

$$\overrightarrow{k\text{'}}=\frac{2\pi }{\lambda }\overrightarrow{u}\text{'}\text{(1)}$$

où l'on a introduit un vecteur unitaire donnant la direction et le sens de cette onde.

Figure pleine page

L'entrée du télescope est obstruée par un écran percé de deux trous très petits T₁ et T₂. On note $\overrightarrow{a}$ le vecteur reliant ces deux trous :

$$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{T_1{T}_2}\text{(2)}$$

Dans tout ce qui suit, on néglige le diamètre de ces trous, c'est-à-dire qu'on ne prend pas en compte la figure de diffraction de chaque trou. Comme les deux trous sont éclairés par une onde plane, ils se comportent comme deux sources ponctuelles cohérentes déphasées de :

$$\phi \text{'}=\overrightarrow{k}\text{'}\cdot \overrightarrow{a}\text{(3)}$$

En un point P du plan focal du télescope, les deux rayons se rencontrant sont parallèles avant de traverser la lentille. On note $\overrightarrow{u}$ le vecteur unitaire donnant leur direction. La différence de phase entre ces deux rayons au point P est :

$$\Phi =\frac{2\pi }{\lambda }(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}\text{'})\cdot \overrightarrow{a}\text{(4)}$$

Lorsque les deux vecteurs directeurs sont égaux, la différence de phase est nulle, ce qui correspond à la position de l'image au sens de l'optique géométrique.

L'intensité dans le plan focal est définie par la fonction d'interférence de deux ondes :

$$I\left(\overrightarrow{u}\right)=I_0(1+cos(\frac{2\pi }{\lambda }(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}\text{'})\cdot \overrightarrow{a}\left)\right)\text{(5)}$$

où I₀ est l'intensité de l'onde provenant le l'objet.

Pour exprimer le déphasage, on a besoin des composantes des vecteurs unitaires sur le plan XY (le vecteur $\overrightarrow{a}$ est dans ce plan). Ces composantes s'expriment avec deux angles par rapport à l'axe du télescope :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & u_x=sin\alpha \hfill & \hfill \text{(6)}\\ \hfill & u_y=sin\beta \hfill & \hfill \text{(7)}\\ \hfill & u_x\text{'}=sin\alpha \text{'}\hfill & \hfill \text{(8)}\\ \hfill & u_y\text{'}=sin\beta \text{'}\hfill & \hfill \text{(9)}\end{array}$$

On suppose que ces angles sont très petits, ce qui permet de développer les sinus à l'ordre 1. Par ailleurs, on pose :

$$\overrightarrow{a}=a{\overrightarrow{u}}_x+b{\overrightarrow{u}}_y\text{(10)}$$

On obtient finalement :

$$I(\alpha ,\beta )=I_0(1+cos(\frac{2\pi }{\lambda }(a(\alpha -\alpha \text{'})+b(\beta -\beta \text{'}))\left)\right)\text{(11)}$$

Par exemple, si les deux trous sont sur l'axe X, espacés de a, et si la source est sur l'axe OZ, on retrouve la formule classique des interférences de Young :

$$I\left(\alpha \right)=I_0(1+cos(\frac{2\pi }{\lambda }a\alpha \left)\right)\text{(12)}$$

La figure d'interférence comporte des franges rectilignes, dont l'interfrange est :

$$\Delta \alpha =\frac{\lambda }{a}\text{(13)}$$

Il s'agit bien sûr d'un interfrange angulaire, qu'il faut multiplier par la distance focale du télescope. En pratique, le nombre de franges visibles est limité par la largeur des trous. Si d est leur diamètre, les franges ne sont visibles qu'à l'intérieur de la tache de diffraction, dont le diamètre angulaire est environ 2λ/d. La largeur spectrale de la source limite aussi le nombre de franges visibles, mais il est toujours possible de la réduire avec un filtre.

2.b. Objet étendu

On considère un objet étendu, par exemple une étoile, un couple d'étoiles, ou tout autre objet dont on souhaite obtenir des détails. Un tel objet est caractérisé par une fonction intensité :

$$I_0\left(\overrightarrow{u}\text{'}\right)\text{(14)}$$

Par exemple pour une étoile, cette fonction prend une valeur non nulle à peu près uniforme sur un cône autour de la direction donnant le centre de l'étoile.

Les différents points de l'objet constituent des sources de lumière incohérentes. L'intensité obtenue dans le plan focal est donc la somme des intensités produites par chacun de ces points, qui s'exprime comme une intégrale double :

$$I\left(\overrightarrow{u}\right)=\iint I_0\left(\overrightarrow{u}\text{'}\right)(1+cos(\frac{2\pi }{\lambda }(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}\text{'})\cdot \overrightarrow{a}\left)\right)d\alpha \text{'}d\beta \text{'}\text{(15)}$$

Les angles α' et β' définissent la direction du vecteur $\overrightarrow{u}\text{'}$ par rapport à l'axe du télescope. L'intégrale s'étend sur toutes les directions incidentes possibles, en tout cas sur les directions où l'objet présente une intensité non négligeable.

On pose tout d'abord :

$$I_1=\iint I_0\left(\overrightarrow{u}\text{'}\right)d\alpha \text{'}d\beta \text{'}\text{(16)}$$

Le second terme de $\mathrm{(15)}$ est la partie réelle de l'intégrale complexe suivante :

$$\underline{J}=\iint I_0\left(\overrightarrow{u}\text{'}\right)e^{i\frac{2\pi }{\lambda }(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{u}\text{'})\cdot \overrightarrow{a}}d\alpha \text{'}d\beta \text{'}=e^{i\frac{2\pi }{\lambda }\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{a}}\iint I_0\left(\overrightarrow{u}\text{'}\right)e^{-i\frac{2\pi }{\lambda }\overrightarrow{u}\text{'}\overrightarrow{a}}d\alpha \text{'}d\beta \text{'}\text{(17)}$$

On définit alors la fonction de visibilité :

$$\underline{\mu }\left(\overrightarrow{a}\right)=\frac{1}{I_1}\iint I_0\left(\overrightarrow{u}\text{'}\right)e^{-i\frac{2\pi }{\lambda }\overrightarrow{u}\text{'}\overrightarrow{a}}d\alpha \text{'}d\beta \text{'}\text{(18)}$$

que l'on écrit explicitement en fonction des angles :

Il s'agit d'une fonction à valeur complexe des variables (a,b). On reconnaît la transformée de Fourier de la fonction intensité de l'objet. Les variables conjugées sont :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \alpha \text{'}\to \frac{a}{\lambda }\hfill & \hfill \text{(20)}\\ \hfill & \beta \text{'}\to \frac{b}{\lambda }\hfill & \hfill \text{(21)}\end{array}$$

Introduisons le module et l'argument :

$$\underline{\mu }(a,b)=V(a,b)e^{i\psi (a,b)}\text{(22)}$$

Finalement, l'intensité dans le plan focal s'écrit :

On obtient ainsi des franges rectilignes de Young dont la visibilité (le contraste) est donnée par la fonction V(a,b), c'est-à-dire le module de la transformée de Fourier de la fonction d'intensité de l'objet.

2.c. Exemple à une dimension

Voyons tout d'abord un exemple unidimensionnel. L'objet est dans le plan OXZ. On a alors des fonctions d'une variable :

$$\underline{\mu }\left(a\right)=\frac{1}{I_1}\int I_0\left(\alpha \text{'}\right)e^{-i\frac{2\pi }{\lambda }a\alpha \text{'}}d\alpha \text{'}\text{(24)}$$

Comme objet étendu, considérons une étoile. Le diamètre apparent d'une étoile est trop petit pour être discerné sur l'image formée dans le plan focal, car la tache de diffraction due à l'ouverture limitée du télescope masque complètement ce diamètre. Supposons que l'étoile soit dans l'axe du télescope. En première approximation, la fonction d'intensité peut être définie par :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & I_0\left(\alpha \text{'}\right)=I_0\text{si}\left|\alpha \text{'}\right|<\frac{\epsilon }{2}\hfill & \hfill \text{(25)}\\ \hfill & I_0\left(\alpha \text{'}\right)=0\text{si}\left|\alpha \text{'}\right|>\frac{\epsilon }{2}\hfill & \hfill \text{(26)}\end{array}$$

où ε est le diamètre apparent de l'étoile, qui est inférieur au dixième de seconde d'arc. On a :

$$I_1=I_0\epsilon \text{(27)}$$

La fonction de visibilité est :

$$\underline{\mu }\left(a\right)=\frac{1}{\epsilon }{\int }_{\epsilon /2}^{\epsilon /2}{e}^{-i\frac{2\pi }{\lambda }a\alpha \text{'}}d\alpha \text{'}\text{(28)}$$

Le calcul conduit à :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \underline{\mu }\left(a\right)=\frac{sinu}{u}\hfill & \hfill \text{(29)}\\ \hfill & u=\frac{\pi a\epsilon }{\lambda }\hfill & \hfill \text{(30)}\end{array}$$

Voyons le tracé de la visibilité (le contraste des franges) pour une étoile de diamètre 0,05 secondes d'arc.

import numpy
from matplotlib.pyplot import *

Lambda = 500e-9
epsilon = 0.05/3600*numpy.pi/180.0

def V(a):
    u = numpy.pi*a*epsilon/Lambda
    return numpy.abs(numpy.sin(u)/u)

figure()
a = numpy.linspace(0,10,500)
v = V(a)
plot(a,v)
xlabel('a (m)')
ylabel('V')
grid()
                        

Figure pleine page

L'expérience consiste à varier la distance a entre les trous jusqu'à obtenir la première annulation du contraste des franges. On peut ainsi remonter au diamètre apparent. Pour cette étoile, il faut un espacement de 2 m.

On voit sur cet exemple qu'un espacement a entre les trous permet d'accéder à des détails de l'ordre de λ/a.

La première expérience d'interférométrie stellaire a été réalisée en 1920 par Michelson et Pease, avec une étoile de ce diamètre angulaire. L'accès à des détails encore plus petits nécessite un très grand télescope. On verra plus loin que l'interférométrie moderne utilise plusieurs télescopes distants de plusieurs dizaines de mètres.

2.d. Exemple à deux dimensions

Comme exemple bidimensionnel simple, considérons trois étoiles non alignées, qui ne sont pas séparables par une observation directe. Le but est d'obtenir une information sur la distance angulaire entre ces étoiles et sur leurs positions relatives. Si on les considère comme ponctuelles, la fonction d'intensité est une somme de trois distributions de Dirac. La fonction de visibilité s'écrit :

$$\underline{\mu }(a,b)=\sum _{j=1}^3{e}^{-i\frac{2\pi }{\lambda }(a\alpha {\text{'}}_j+b\beta {\text{'}}_j)}\text{(31)}$$

où l'on a introduit les positions angulaires (α'_j,β'_j) des trois étoiles par rapport à l'axe du télescope. La relation s'applique d'ailleurs à un nombre quelconque d'étoiles ponctuelles. Voyons un exemple. Les angles sont en secondes d'arc.

alpha1 = 0.0
beta1 = 0.0
alpha2 = 0.01
beta2 = 0.003
alpha3 = -0.008
beta3 = 0.005
                       
sec2rad = 1.0/3600*numpy.pi/180.0
f = 2*numpy.pi/Lambda*sec2rad

def V(a,b):
    mu = numpy.exp(-1j*f*(a*alpha1+b*beta1))+\
         numpy.exp(-1j*f*(a*alpha2+b*beta2))+\
         numpy.exp(-1j*f*(a*alpha3+b*beta3))
    return numpy.absolute(mu)
    
A = 20.0
da = A/100
a,b = numpy.mgrid[-A:A:da,-A:A:da]
v = V(a,b)
figure(figsize=(7,7))
imshow(v,cmap=cm.gray,extent=[-A,A,-A,A])
xlabel('a (m)')
ylabel('b (m)')
                       

figB.pdf

La visibilité est représentée sous forme d'une image. Les zones noires correspondent à une visibilité nulle.

Sur ce type d'objet, la méthode interférométrique consiste à faire varier a et b pour échantillonner cette visibilité le plus finement possible. La transformée de Fourier inverse permet en principe de remonter à la fonction intensité et donc à la position des trois étoiles. Dans le cas présent, il faut pouvoir faire varier a et b sur plusieurs mètres.