Michelson

Interféromètre de Michelson

1. Interféromètre

a. Lame séparatrice

Division d'amplitude : un rayon issu de la source est divisé en deux rayons.

1. Interféromètre

a. Lame séparatrice

b. Dispositif optique

Présentation d'un interféromètre

1. Interféromètre

a. Lame séparatrice

b. Dispositif optique

c. Lame compensatrice

Le rayon réfléchi par $M_{1}$ traverse trois fois la lame.

Le rayon réfléchi par $M_{2}$ traverse une fois la lame.

Différence de chemin optique indésirable.

La lame compensatrice compense la différence de marche introduite par la lame.

L'ensemble est équivalent à un plan semi-réfléchissant, le plan séparateur.

1. Interféromètre

a. Lame séparatrice

b. Dispositif optique

c. Lame compensatrice

d. Schéma simplifié équivalent

Plan séparateur $S_{p}$ .

Miroir virtuel $M'_{2}$ : symétrique de $M_{2}$ par $S_{p}$ .

Lumières incidente et sortante représentées sur le même axe.

2. Réglage en lame d'air

a. Source ponctuelle

Deux sources ponctuelles $S_{1}, S_{2}$ en phase.

Différence de marche :

δ = n (S_{1} M - S_{2} M) = 2 n e cos (θ)

Franges : anneaux de centre $C$ .

Ordre d'interférence au centre :

p_{c} = \frac{2 e}{λ}

Si l'interférence est constructive au centre :

\frac{2 e}{λ} = k (k \in ℕ)

Angle petit : $cos (θ) \approx 1 - \frac{θ^{2}}{2}$ .

Premier anneaux lumineux d'ordre $k - 1$ :

\begin{matrix} \frac{2 e}{λ} (1 - \frac{θ^{2}}{2}) = k - 1 \\ θ = \sqrt{\frac{λ}{e}} \\ r \approx D θ = D \sqrt{\frac{λ}{e}} \end{matrix}

Plus l'écran est loin, plus les anneaux sont grands.

Déplacement transversal de la source d'une distance $d$ : les anneaux se déplacent de la même distance.

Si la source est étendue, les différents points de la source produisent des anneaux qui ne coïncident pas.

Coïncidence approximative si $D$ est assez grand.

2. Réglage en lame d'air

a. Source ponctuelle

b. Source étendue

Pour observer des interférences très contrastées avec une source étendue, l'écran doit être placé à très grande distance.

Écran à l'infini : plan focal image d'une lentille convergente.

Rayon émis par un point S de la source, avec un angle d'inclinaison $θ$ .

Division d'amplitude sur $M'_{2}$ .

Si une source ponctuelle était placée au point $M$ , les points $I$ et $K$ seraient en phase donc :

[M K] = [M I]

Différence de marche :

δ = [I J] + [J K] + [K M] - [I M] = [I J] + [J K] = n (I J + J K)

Le triangle rectangle (IJK) a un angle 2θ en son sommet J, donc :

I J cos (2 θ) = J K

D'autre part :

I J cos θ = e

On en déduit :

δ = 2 n e cos (θ)

$δ$ ne dépend pas de la position du point source.

Les interférences produites par les différents points de la source étendue coïncident : les interférences sont parfaitement contrastées avec une source étendue.

Si le plan d'observation n'est pas à l'infini (ou pas assez loin), le contraste est moins bon.

Avec une source étendue, les interférences du réglage en lame d'air sont localisées à l'infini, c.-à-d. parfaitement contrastées seulement à l'infini. Elles sont obtenues par division d'amplitude.

Les franges de lame d'air sont des franges d'égale inclinaison : chaque frange correspond à une certaine valeur de l'angle d'inclinaison des rayons.

Rayon de la frange pour l'angle $θ$ :

r = f' θ

2. Réglage en lame d'air

a. Source ponctuelle

b. Source étendue

c. Translation du miroir

Changement de l'épaisseur de la lame d'air par translation du miroir $M_{1}$ .

Suivi visuel d'un anneau d'ordre $p$ :

2 e cos (θ) = p λ

Si $e$ , diminue $θ$ diminue : les anneaux entrent.

Si $e$ , augmente $θ$ augmente : les anneaux sortent.

Expérience : Réglage en lame d'air

Contact optique des miroirs : $e = 0$ . Éclairement uniforme.

Valeur algébrique de $e$ . Aucune différence des interférences entre $e$ et $- e$ .

2. Réglage en lame d'air

a. Source ponctuelle

b. Source étendue

c. Translation du miroir

d. Mesure de longueur d'onde

Entraînement motorisé du miroir en translation à la vitesse de $2 m m \cdot h^{- 1}$ .

Interférogramme : intensité au centre en fonction du déplacement

I = 2 I_{0} (1 + cos (\frac{2 π}{λ} 2 e))

Période de l'interférogramme.

Mesure de la longueur d'onde du doublet jaune du sodium

2. Réglage en lame d'air

a. Source ponctuelle

b. Source étendue

c. Translation du miroir

d. Mesure de longueur d'onde

e. Doublet de raies

Lumière comportant deux raies quasi monochromatiques $λ_{a}$ et $λ_{b}$ .

| λ_{b} - λ_{a} | ≪ λ_{a}

Ordres d'interférence au centre :

\begin{matrix} p_{a} = \frac{2 e}{λ_{a}} \\ p_{b} = \frac{2 e}{λ_{b}} \end{matrix}

Anti-coïncidence des deux figures d'interférences :

\begin{matrix} p_{a} - p_{b} = q + \frac{1}{2} (q \in ℤ) \\ 2 e \frac{(λ_{b} - λ_{a})}{λ_{a}^{2}} = q + \frac{1}{2} \\ e = \frac{λ_{a}^{2}}{2 (λ_{b} - λ_{a})} q + \frac{λ_{a}^{2}}{4 (λ_{b} - λ_{a})} \end{matrix}

Translation du miroir : minima périodiques du contraste des anneaux.

Mesure de $λ_{b} - λ_{a}$ connaissant $λ_{a}$ .

Analyse du doublet jaune du sodium

2. Réglage en lame d'air

a. Source ponctuelle

b. Source étendue

c. Translation du miroir

d. Mesure de longueur d'onde

e. Doublet de raies

f. Largeur de raie

Raie quasi monochromatique de largeur $Δ λ$ .

Longueur de cohérence :

Δ l = \frac{λ^{2}}{Δ λ}

Baisse progressive du contraste lorsque $e$ augmente.

Disparition des interférences pour :

\begin{matrix} 2 e > Δ l \end{matrix}

Éstimation de la longueur de cohérence du sodium

3. Réglage en coin d'air

a. Source ponctuelle

À partir du contact optique, inclinaison très légère d'un miroir.

Coin d'air d'angle $α ≪ 1$

$Δ$ : droite d'intersection des deux miroirs.

Figure dans un plan perpendiculaire à $Δ$ .

Différence de marche ;

δ = \frac{a x}{D}

Franges rectilignes parallèles à $Δ$ .

Déplacement transversal de la source : l'ordre 0 se déplace proportionnellement à la distance du plan d'observation aux miroirs.

Franges invisibles avec une source étendue sauf si le plan d'observation est très proche des miroirs.

3. Réglage en coin d'air

a. Source ponctuelle

b. Source étendue

Le plan d'observation doit être placé à proximité des miroirs (ou du coin d'air).

Utilisation d'une lentille convergente pour faire l'image du coin d'air sur un écran, ou bien observation directe à l'œil avec accommodation sur le coin d'air.

Avec une source étendue, les interférences se forment par division d'amplitude : un seul rayon incident.

Rayon incident en incidence quasi normale sur le coin d'air (quelques degrés).

Point $P$ conjugué du point $M$ par la lentille.

$e$ : épaisseur locale du coin d'air en $P$ .

e = α x

Les deux rayons réfléchis se coupent en un point très proche du coin d'air à l'échelle de la distance entre le coin d'air et la lentille.

Différence de marche (résultat admis) :

δ = 2 n e

Franges rectilignes parallèles à $Δ$ , d'interfrange :

i = \frac{λ}{2 n α}

$δ$ ne dépend que de la position du point $M$ , pas du point de la source d'où le rayon incident est émis.

Les interférences produites par les différents points de la source étendue coïncident. Les interférences avec une source étendue sont bien contrastées à condition que le faisceau de lumière incidente ait un faible angle d'ouverture.

Observation très aisée à l'œil nu : le petit diamètre de la pupille limite l'ouverture du faisceau.

Avec une source étendue, les interférences du réglage en coin d'air sont obtenues par division d'amplitude et sont localisées sur un plan très proche du coin d'air (distance inférieure au mm).

Les franges de coin d'air sont des franges d'égale épaisseur : chaque frange correspond à une certaine valeur de l'épaisseur du coin d'air.

Si un des miroirs n'est pas plan, on observe des lignes d'égale épaisseur non rectilignes.

L'épaisseur du coin d'air doit reste très faible.

Réglage en coin d'air

3. Réglage en coin d'air

a. Source ponctuelle

b. Source étendue

c. Lumière blanche

Frange d'ordre 0 (blanche) sur la droite $Δ$ .

Franges de coin d'air en lumière blanche

Relation de Fresnel :

I (λ, δ) = 2 I_{0} (1 + cos (\frac{2 π}{λ} δ))

Interférences en lumière blanche