Expérience des miroirs de Fresnel

1. Dispositif

Le dispositif des miroirs de Fresnel comporte deux miroirs plans, chacun étant obtenu par réflexion vitreuse sur une lame de verre. Les deux miroirs, de forme rectangulaire, sont côte à côte et sont presque coplanaires. On note Δ leur arête de contact. Une vis permet d'ajuster l'angle d'inclinaison entre les deux miroirs.

La source de lumière est constituée par une fente F, parallèle à Δ, placée devant une lampe. On note b la largeur de cette fente. La fente est placée assez proche des plans des miroirs, de manière à les éclairer en incidence rasante. L'observation se fait sur un plan E, au moyen d'un oculaire par exemple.

On désigne par F₁ et F₂ les images de la fente source par les deux miroirs. Ces images sont aussi de largeur b et leurs centres sont distants de :

$$a=2Lsin\alpha$$

où L désigne la distance entre F et l'arête Δ et α l'angle entre les deux miroirs.

Soit O le milieu du segment constitué par les centres des deux fentes images et soit Oz l'axe passant par l'arête Δ. L'observation se fait sur un plan E perpendiculaire à cet axe, à une distance D des images.

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2. Éclairement

On définit un repère orthogonal Oxyz où Ox est l'axe contenant les centres des images F₁ et F₂. L'axe Oy est parallèle à l'arête Δ. L'angle d'inclinaison α étant très petit, ces deux images sont pratiquement situées dans le plan Oxy perpendiculaire à l'axe Oz. Leur largeur est b, la largeur de la fente F.

Un point de la fente source F (situé dans le plan Ozx) donne deux images S₁ et S₂ situées sur l'axe Ox et espacées de a. Ces deux images sont cohérentes : elle produisent sur l'écran des interférences avec une différence de marche

$$\delta =\frac{a(x-x_s)}{D}$$

où x désigne l'abscisse du point de E considéré et x_s l'abscisse du milieu de S₁S₂. L'éclairement obtenu avec la fente est la somme des éclairements obtenus pour chacun de ses points :

$$I\left(x\right)=\frac{2I_0}{b}{\int }_{-b/2}^{b/2}\left(1+cos\left(\frac{2\pi }{\lambda }\frac{a(x-x_s)}{D}\right)\right)d{x}_s$$

L'intégration conduit à :

$$\begin{array}{cc}\hfill & I\left(x\right)=2I_0\left(1+C\left(u\right)cos\left(\frac{2\pi ax}{\lambda D}\right)\right)\hfill \\ \hfill & C\left(u\right)=\frac{sinu}{u}\hfill \\ \hfill & u=\frac{\pi ab}{\lambda D}\hfill \end{array}$$

La valeur absolue de la fonction C(u) est le contraste des franges. Lorsqu'on augmente progressivement la largeur b de la fente, le contraste s'annule pour :

$$b=\frac{\lambda D}{a}$$

Au delà de cette valeur, le contraste passe par des maxima secondaires très faibles. En pratique, la largeur précédente constitue la limite d'observation des interférences.

3. Simulation

La simulation suivante permet de faire varier la distance a entre les images de la fente et la largeur b de celle-ci.

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