Interférences

Interférences de deux ondes

1. Interférences de deux ondes quasi monochromatiques

a. Superposition des amplitudes lumineuses

Superposition de deux ondes en un point $P$, émises par deux sources ponctuelles quasi monochromatiques :

\begin{matrix} a_{1} (P, t) = A_{1} cos (ω_{1} (t - τ_{1}) + ψ_{1} (t - τ_{1})) \\ a_{2} (P, t) = A_{2} cos (ω_{2} (t - τ_{2}) + ψ_{2} (t - τ_{2})) \\ a (P, t) = a_{1} (P, t) + a_{2} (P, t) \end{matrix}

$τ_{i}$ : temps de propagation entre la source $S_i$ et le point $P$.

$ψ_{i} (t)$ : phase de la source.

$A_1$, $A_2$, $\tau_1$ et $\tau_2$ dépendent de la position de $P$.

Intensité lumineuse : moyenne de $a^{2}$ sur le temps de réponse du capteur.

\begin{matrix} I (P) = \frac{1}{τ_{r}} \int_{0}^{τ_{r}} a^{2} (P, t) d t \end{matrix}

Intensités des deux ondes :

\begin{matrix} I_{1} = \frac{1}{2} A_{1}^{2} \\ I_{2} = \frac{1}{2} A_{2}^{2} \end{matrix}

\begin{matrix} a^{2} (P, t) = & A_{1}^{2} {cos}^{2} (ω_{1} (t - τ_{1}) + ψ_{1} (t - τ_{1})) \\ + & A_{2}^{2} {cos}^{2} (ω_{2} (t - τ_{2}) + ψ_{2} (t - τ_{2})) \\ + & A_{1} A_{2} cos ((ω_{1} + ω_{2}) t - ω_{1} τ_{1} - ω_{2} τ_{2} + ψ_{1} (t - τ_{1}) + ψ_{2} (t - τ_{2})) \\ + & A_{1} A_{2} cos ((ω_{1} - ω_{2}) t + ω_{2} τ_{2} - ω_{1} τ_{1} + ψ_{1} (t - τ_{1}) - ψ_{2} (t - τ_{2})) \end{matrix}

1. Interférences de deux ondes quasi monochromatiques

a. Superposition des amplitudes lumineuses

b. Condition d'interférence

Deux sources sont incohérentes si :

$ω_{1} \neq ω_{2}$
ou si $ψ_{1} (t)$ et $ψ_{2} (t)$ sont non corrélées.

Pour deux sources incohérentes, il n'y pas d'interférences :

I = I_{1} + I_{2}

Condition nécessaire d'interférence : les deux sources doivent être cohérentes

\begin{matrix} ω_{1} = ω_{2} \\ ψ_{1} (t) - ψ_{2} (t) = ψ_{0} (c o n s t a n t e) \end{matrix}

Deux sources sont cohérentes s'il y a une seule seule source physique. L'onde émise par la source est divisée.

Si $ψ (t)$ est la phase de S :

ψ_{1} (t) = ψ_{2} (t) = ψ (t)

$τ_{1}$ et $τ_{2}$ : retards depuis S.

Intensité lumineuse pour deux sources cohérentes :

\begin{matrix} I = & I_{1} + I_{2} \\ + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \frac{1}{τ_{r}} \int_{0}^{τ_{r}} cos (ω (τ_{2} - τ_{1}) + ψ (t - τ_{1}) - ψ (t - τ_{2})) d t \end{matrix}

Il y a interférence si $ψ (t - τ_{1})$ et $ψ (t - τ_{2})$ sont corrélées. Le retard doit être inférieur au temps de cohérence :

| τ_{1} - τ_{2} | < Δ t

Les deux ondes sont cohérentes au point considéré (cohérence partielle ou complète).

1. Interférences de deux ondes quasi monochromatiques

a. Superposition des amplitudes lumineuses

b. Condition d'interférence

c. Formule de Fresnel

Si le retard est très petit devant le temps de cohérence

ψ (t - τ_{1}) \approx ψ (t - τ_{2})

La cohérence des deux ondes est complète.

Intensité :

I = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} cos (ω (τ_{2} - τ_{1}))

Cas $I_{1} = I_{2}$ :

I = 2 I_{1} (1 + cos (ω (τ_{2} - τ_{1})))

Simulation : Train d'ondes et interférences.

Phases des deux ondes au point $P$ :

φ_{1} = ω τ_{1} e t φ_{2} = ω τ_{2}

Déphasage des deux ondes :

Φ = φ_{2} - φ_{1} = \frac{2 π}{λ_{0}} δ

$δ$ : différence de chemin optique des deux trajets depuis la source, très petite par rapport à la longueur de cohérence.

L'intensité résultant de la superposition de deux ondes cohérentes, si la différence de chemin optique $δ$ est très petite devant la longueur de cohérence de la source, est :

I = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} cos (Φ)

Φ = \frac{2 π}{λ_{0}} δ

$δ$ est la différence de marche des deux ondes depuis la source.

En toute rigueur, la fomule de Fresnel n'est valable que si la cohérence des deux ondes est complète :

δ ≪ Δ l

Mais on l'applique aussi en cas de cohérence partielle :

δ < Δ l

1. Interférences de deux ondes quasi monochromatiques

a. Superposition des amplitudes lumineuses

b. Condition d'interférence

c. Formule de Fresnel

d. Source étendue

La plupart des sources étendues ne possèdent pas de cohérence spatiale : deux points de la sources constituent deux sources ponctuelles incohérentes entre elles.

Seule la lumière émise par un point de la source (et suivant deux chemins différents) peut donner des interférences.

Exception : la lumière émise par un laser possède une cohérence spatiale.

1. Interférences de deux ondes quasi monochromatiques

a. Superposition des amplitudes lumineuses

b. Condition d'interférence

c. Formule de Fresnel

d. Source étendue

e. Ordre d'interférence

Ordre d'interférence :

p = \frac{Φ}{2 π} = \frac{δ}{λ_{0}}

Interférence constructive :

\begin{matrix} cos (Φ) = 1 \\ p = m (m \in ℤ) \\ I = I_{m a x} = I_{1} + I_{2} + 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \end{matrix}

Interférence destructive :

\begin{matrix} cos (Φ) = - 1 \\ p = m + \frac{1}{2} \\ I = I_{m i n} = I_{1} + I_{2} - 2 \sqrt{I_{1} I_{2}} \end{matrix}

Validité de la formule de Fresnel pour deux ondes quasi monochromatiques cohérentes :

\begin{matrix} | δ | ≪ Δ l \\ | p | ≪ \frac{Δ l}{λ_{0}} \\ | p | ≪ \frac{λ}{Δ λ} \end{matrix}

Pour une raie d'une lampe à décharge :

\frac{Δ l}{λ_{0}} \approx \frac{5 \cdot 1 0^{- 3}}{500 \cdot 1 0^{- 9}} = 1 0^{4}

1. Interférences de deux ondes quasi monochromatiques

a. Superposition des amplitudes lumineuses

b. Condition d'interférence

c. Formule de Fresnel

d. Source étendue

e. Ordre d'interférence

f. Contraste des interférences

Facteur de contraste (ou visibilité) des interférences :

C = \frac{I_{m a x} - I_{m i n}}{I_{m a x} + I_{m i n}} = \frac{2 \sqrt{I_{1} I_{2}}}{I_{1} + I_{2}} = \frac{2 \sqrt{\frac{I_{2}}{I_{1}}}}{1 + \frac{I_{2}}{I_{1}}}

Si $I_{2} / I_{1} > 0, 5$ le contraste est très bon et

I \approx 2 I_{1} (1 + cos (2 π p))

2. Interférences de deux ondes sphériques

a. Hypothèses

Deux sources ponctuelles quasi monochromatiques cohérentes et en phase, dérivées d'une seule source monochromatique.

Si $δ ≪ Δ l$ , le modèle d'onde monochromatique est valide.

Ondes sphériques monochromatiques :

\begin{matrix} a_{1} (r_{1}, t) = \frac{α}{r_{1}} cos (\frac{2 π}{λ_{0}} n r_{1} - ω t) \\ a_{2} (r_{2}, t) = \frac{α}{r_{2}} cos (\frac{2 π}{λ_{0}} n r_{2} - ω t) \end{matrix}

Hypothèse : $r_{1} \approx r_{2}$ .

\begin{matrix} A_{1} = A_{2} \\ I_{1} = I_{2} \end{matrix}

Formule de Fresnel :

\begin{matrix} I = 2 I_{1} (1 + cos (\frac{2 π}{λ_{0}} δ)) \\ δ = n (r_{2} - r_{1}) \end{matrix}

Une variation de $r_{2} - r_{1}$ de l'ordre du micromètre fait varier l'intensité.

2. Interférences de deux ondes sphériques

a. Hypothèses

b. Franges d'interférences rectilignes

Différence de marche au point M :

δ = n \sqrt{(x + \frac{a}{2})^{2} + y^{2} + D^{2}} - n \sqrt{(x - \frac{a}{2})^{2} + y^{2} + D^{2}}

Hypothèse :

\begin{matrix} a ≪ D, | x | ≪ D, | y | ≪ D \end{matrix}

Développement limité à l'ordre 1 :

\begin{matrix} δ = n \frac{a x}{D} \end{matrix}

$δ$ dépend seulement de $x$ : les franges d'interférences sont rectilignes, perpendiculaires à la droite $S_{1} S_{2}$ .

Position de la frange brillante d'ordre $p (p \in ℤ)$ :

\begin{matrix} δ = p λ_{0} \\ x_{p} = p \frac{λ_{0}}{n a} D = p \frac{λ}{a} D \end{matrix}

Les franges sont équidistantes. Interfrange : distance entre les franges d'ordre p et p+1.

i = \frac{λ}{a} D

Aspect visuel des franges :

Franges lumineuses : $m - \frac{1}{4} < p < m + \frac{1}{4}$ environ $(m \in ℤ)$ .

Franges noires : $m + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} < p < m + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ environ.

Les franges sont floues.

2. Interférences de deux ondes sphériques

a. Hypothèses

b. Franges d'interférences rectilignes

c. Franges d'interférences en anneaux

Différence de marche au point M :

δ = n (r_{2} - r_{1})

Invariance par rotation autour de $S_{1} S_{2}$ : $δ$ est fonction de la distance $r = C M$ .

Les franges d'interférences sont des anneaux de centre C.

\begin{matrix} r_{1} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + ρ^{2} + a ρ cos θ} \\ r_{2} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + ρ^{2} - a ρ cos θ} \end{matrix}

Développement limité à l'ordre 1 en a/ρ:

δ = n a cos θ

Ordre d'interférence au centre :

p_{c} = \frac{n a}{λ_{0}}

Si $p_{c} = m (m \in ℤ)$ la frange centrale est un disque lumineux.

Les anneaux lumineux sont d'ordre $m - 1$ , $m - 2$ , etc.