Ondes lumineuses

1. Approximation scalaire

a. Définition

Onde électromagnétique lumineuse : $400 < λ < 700 n m$ .

Pour expliquer la plupart des phénomènes d'interférences, le caractère vectoriel de l'onde peut être ignoré.

Onde scalaire définie par une amplitude lumineuse :

a (\vec{r}, t)

vérifiant dans le vide l'équation de d'Alembert :

Δ a = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial^{2} a}{\partial t^{2}}

Puissance surfacique de l'onde : $a^{2} (\vec{r}, t)$ .

Les capteurs sont sensibles à la puissance.

Fréquence de variation de l'ordre de $1 0^{15} H z$ .

Un capteur de lumière est un filtre passe-bas.

Temps de réponse du capteur ( $τ_{r}$ ) :

œuil : $0, 1 s$ ,
photodiode ordinaire : $1 0^{- 3} s$ ,
photodiode rapide : $1 0^{- 6} s$ .

Un capteur est sensible à l'intensité lumineuse, définie comme la moyenne de la puissance pendant son temps de réponse :

I (\vec{r}) = \frac{1}{τ_{r}} \int_{0}^{τ_{r}} a^{2} (\vec{r}, t) d t

Unité : $W \cdot m^{- 2}$ .

1. Approximation scalaire

a. Définition

b. Onde plane progressive monochromatique

\begin{matrix} a (\vec{r}, t) = A cos (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t) \\ \underset{̲}{a} (\vec{r}, t) = A e^{i (\vec{k} \cdot \vec{r} - ω t)} \end{matrix}

Phase de l'onde (indépendante du temps) :

φ = \vec{k} \cdot \vec{r} = \frac{2 π}{λ_{0}} n \vec{u} \cdot \vec{r}

Le terme temporel $- ω t$ est sous-entendu.

$n$ : indice de réfraction du milieu homogène.

Intensité lumineuse :

I = < a^{2} (\vec{r}, t) > = \frac{A^{2}}{2}

Une surface d'aire S perpendiculaire à $\vec{k}$ reçoit une puissance moyenne $I S$ .

Éclairement d'une surface en un point : puissance moyenne reçue par unité de surface.

Pour une OPPM de polarisation rectiligne :

\begin{matrix} E_{y} = E_{0} cos (k x - ω t) \\ I = < Π_{x} > = \frac{E_{0}^{2} n}{2 μ_{0} c} \\ a (x, t) = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{μ_{0} c}} E_{y} (x, t) \end{matrix}

Rayons lumineux : lignes de champ du vecteur de Poynting.

Pour une OPPM, les rayons lumineux sont des droites parallèles à $\vec{k}$ , orientées dans le sens de propagation.

Différence de phase entre deux points d'un rayon

φ (B) - φ (A) = \frac{2 π}{λ_{0}} n \vec{u} \cdot \vec{A B} = \frac{2 π}{λ_{0}} n A B

Chemin optique de $A$ à $B$ : $[A B] = n A B$ .

Δ φ = \frac{2 π}{λ_{0}} [A B] = \frac{2 π}{λ} A B

Utilisation de la représentation complexe :

\underset{̲}{a} = \underset{̲}{A} e^{- i ω t}

Intensité lumineuse (ou éclairement d'une surface perpendiculaire aux rayons) :

\begin{matrix} I & = < R e {(\underset{̲}{a})}^{2} > \\ = \frac{1}{4} < {(\underset{̲}{a} + {\underset{̲}{a}}^{*})}^{2} > \\ = \frac{1}{2} \underset{̲}{A} {\underset{̲}{A}}^{*} \end{matrix}

1. Approximation scalaire

a. Définition

b. Onde plane progressive monochromatique

c. Onde sphérique progressive monochromatique

Onde sphérique : à tout instant, les surfaces où la valeur de $a (\vec{r}, t)$ est constante sont des sphères concentriques.

Dans un milieu homogène, une source de lumière ponctuelle (S) émet une onde sphérique de centre S.

Onde sphérique progressive monochromatique divergente ( $r = O M$ ) :

a (r, t) = \frac{α}{r} cos (k r - ω t)

I = \frac{α^{2}}{2 r^{2}}

φ = k r = \frac{2 π}{λ_{0}} n r

Les rayons sont des demi-droites partant de S, orientées selon $\vec{u_{r}}$ .

Onde sphérique progressive monochromatique convergente vers un point F' (foyer) :

a (r, t) = \frac{α}{r} cos (- k r - ω t)

Les rayons sont des demi-droites partant de F', orientées selon $- \vec{u_{r}}$ .

Onde sphérique dans une région de taille $d ≪ r$ assimilable à une onde plane de vecteur d'onde

\vec{k} = k \vec{u_{r}}

et d'amplitude

A = \frac{α}{r}

Exemple : onde émise par une étoile à l'échelle de la Terre.

1. Approximation scalaire

a. Définition

b. Onde plane progressive monochromatique

c. Onde sphérique progressive monochromatique

d. Onde monochromatique

Onde monochromatique en général :

\underset{̲}{a} (\vec{r}, t) = \underset{̲}{A} (\vec{r}) e^{- i ω t} = A (\vec{r}) e^{i φ (\vec{r})} e^{- i ω t}

Elle peut être progressive, stationnaire ou autre.

Elle peut être plane, sphérique ou autre.

Surfaces d'ondes : surfaces où $φ (\vec{r})$ est constante.

Intensité lumineuse :

I = \frac{1}{2} \underset{̲}{A} {\underset{̲}{A}}^{*} = \frac{1}{2} A {(\vec{r})}^{2}

1. Approximation scalaire

a. Définition

b. Onde plane progressive monochromatique

c. Onde sphérique progressive monochromatique

d. Onde monochromatique

e. Onde quasi monochromatique

En réalité, une source de lumière dite monochromatique est quasi monochromatique : elle émet des paquets d'ondes de durée $Δ t$ .

$Δ t$ est le temps de cohérence.

Longueur de cohérence (dans le vide): $Δ l = c Δ t$ .

Raie d'une lampe à décharge basse pression (lampe spectrale) : $Δ l = 1 \dots 10 m m$ . $Δ t \approx 1 0^{- 12} s$ .

Laser ordinaire (diode laser, laser à gaz He-Ne) : $Δ l = 10 \dots 100 c m$ . $Δ t \approx 1 0^{- 9} s$ .

Échelle de temps :

T ≪ Δ t ≪ τ_{r}

Modèle des trains d'ondes : succession d'ondes sinusoïdales de durée $Δ t$ avec des sauts de phase aléatoires.

\underset{̲}{a} (\vec{r}, t) = A (\vec{r}) e^{i φ (\vec{r})} e^{i (- ω t + ψ (t))}

$ψ (t)$ : fonction constante par morceaux de durée moyenne $Δ t$ .

$ψ (t)$ est une caractéristique de la source.

Simulation : Train d'ondes et temps de cohérence.

Spectre en fréquences, largeur de la raie $Δ f$ :

Δ f Δ t \approx 1

Largeur de la raie en longueur d'onde :

\frac{Δ λ}{λ} = \frac{λ}{Δ l}

La cohérence temporelle d'une source de lumière (ponctuelle) est d'autant plus grande que son temps de cohérence est grand.

2. Optique géométrique

a. Définition

Problème : comment une onde est-elle modifiée lorsqu'elle traverse différents milieux ?

$L$ : taille minimale des objets rencontrés (lentilles, miroirs, etc.)

Approximation de l'optique géométrique valable si

L ≫ λ

2. Optique géométrique

a. Définition

b. Rayons lumineux

Dans un milieu homogène, les rayons sont rectilignes.

En cas de changement de milieu, lois de Descartes de la réfraction.

En cas de réflexion sur une surface, loi de Descartes de la réflexion.

Principe du trajet inverse : un rayon est valable quel que soit le sens de la lumière.

Chemin optique :

\begin{matrix} [A D] & = [A B] + [B C] + [C D] \\ = n_{1} A B + n_{2} B C + n_{3} C D \end{matrix}

Chemin optique dans le sens opposé :

[D A] = - [A D]

2. Optique géométrique

a. Définition

b. Rayons lumineux

c. Surfaces d'onde - Théorème de Malus

Pour une source de lumière ponctuelle (S) monochromatique, une surface d'onde est l'ensemble des points de même phase.

Points $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{i}$ d'une surface d'onde; égalité des chemins optiques pour les différents rayons :

[S A_{1}] = [S A_{2}] = \dots = [S A_{i}]

Théorème de Malus :

soit une surface d'onde constituée des points $B_{i}$ tels que :

[S B_{1}] = [S B_{2}] = \dots = [S B_{i}]

Les rayons coupent la surface d'onde perpendiculairement.

Autre énoncé : les surfaces perpendiculaires aux rayons provenant d'une source ponctuelle sont des surfaces d'onde.

Différences de phase :

\begin{matrix} φ (B) - φ (S) = \frac{2 π}{λ_{0}} [S B_{i}] \\ φ (B) - φ (A) = \frac{2 π}{λ_{0}} [A_{i} B_{i}] \end{matrix}

Tous les rayons partent de la source en phase.

2. Optique géométrique

a. Définition

b. Rayons lumineux

c. Surfaces d'onde - Théorème de Malus

d. Stigmatisme

Système optique stigmatique pour un point objet S : tous les rayons issus de S convergent en un point S' après la traversée du système.

Les points S et S' sont conjugués par le système.

Si S est une source ponctuelle monochromatique, les surfaces d'onde sont sphériques en entrée et en sortie (milieux homogènes).

Égalité des chemins optique :

\begin{matrix} [A_{1} B_{1}] = [A_{2} B_{2}] = \dots = [A_{i} B_{i}] \\ [S B_{1}] = [S B_{2}] = \dots = [S B_{i}] \end{matrix}

Le milieu de sortie est homogène d'indice n' :

\begin{matrix} n' B_{1} S' = n' B_{2} S' = \dots = n' B_{i} S' \\ [B_{1} S'] = [B_{2} S'] = \dots = [B_{i} S'] \end{matrix}

Tous les rayons allant d'un point S à un point S' conjugués par un système stigmatique ont le même chemin optique :

{[S S']}_{1} = {[S S']}_{2} = \dots = {[S S']}_{i}

Conséquence : si S est une source ponctuelle monochromatique, tous les rayons sont en phase au point S'.

2. Optique géométrique

a. Définition

b. Rayons lumineux

c. Surfaces d'onde - Théorème de Malus

d. Stigmatisme

e. Miroir plan

Hypothèse : la réflexion se fait sans changement de phase.

[S B_{i}] = [S I_{i}] + [I_{i} B_{i}] = [S' I_{i}] + [I_{i} B_{i}] = n S' B_{i}

Les rayons réfléchis semblent venir d'une source ponctuelle S' en phase avec S. S' est une source secondaire.

Si S est quasi monochromatique, S' est à tout instant en phase avec S : les deux sources sont cohérentes.

En incidence (quasi) normale, il y a un déphasage de $\pi$ à la réflexion : S' est déphasée de $\pi$ par rapport à S mais reste cohérente avec S car le déphasage est constant.

2. Optique géométrique

a. Définition

b. Rayons lumineux

c. Surfaces d'onde - Théorème de Malus

d. Stigmatisme

e. Miroir plan

f. Lentille convergente

Système optique centré : invariance par rotation autour d'un axe Oz.

Si les rayons sont paraxiaux (conditions de Gauss) :

Stigmatisme approché.
Aplanétisme approché : l'image d'un segment perpendiculaire à l'axe est perpendiculaire à l'axe.

Source ponctuelle S : onde quasi sphérique convergente vers S' en sortie.

Le stigmatisme approché est assimilé à un stigmatisme parfait :

{[S S']}_{1} = {[S S']}_{2} = \dots = {[S S']}_{i}

Simulation : Système optique axial.

Foyer image (F') : image d'un point S situé à l'infini sur l'axe.

Tout point à l'infini a son image dans le plan focal image.

Une onde incidente plane de direction $\vec{k} = k \vec{u_{z}}$ devient une onde sphérique convergeante vers F'.

Une onde incidente plane devient une onde sphérique convergeante dans le plan focal image.

Foyer objet (F) : point dont l'image est à l'infini sur l'axe.

Tout point dans le plan focal objet a son image à l'infini.

Une onde sphérique émise par une source située dans le plan focal objet devient une onde plane.

Approximation des lentilles minces : l'épaisseur de la lentille est négligeable pour les traçés de rayons mais pas pour les chemins optiques.

O : centre de la lentille mince. Symétrie des foyers :

\bar{O F'} = - \bar{O F}

Un système optique composé de plusieurs lentilles (non accolées) n'est pas équivalent à une lentille mince.

Relation de conjugaison avec origine au centre:

\frac{1}{\bar{O P'}} - \frac{1}{\bar{O P}} = \frac{1}{\bar{O F'}}

Relation de conjugaison avec origine au foyer:

\bar{F P} \cdot \bar{F' P'} = - {\bar{O F}}^{2}

Si les rayons proviennent d'une source ponctuelle S, les surfaces perpendiculaires aux rayons sont des surfaces d'onde (théorème de Malus).

Égalité des chemins optiques entre deux surfaces d'onde :

[A_{1} B_{1}] = [A_{2} B_{2}] = \dots = [A_{i} B_{i}]

Attention au chemin optique dans la lentille.

L'onde incidente plane (source ponctuelle à l'infini) devient une onde sphérique convergente vers S' :

F' S' = f' α

Égalité des chemins optiques :

[A_{1} S'] = [A_{2} S'] = \dots = [A_{i} S']

Si les rayons 1 et 2 ne proviennent pas de la même source, les points $A_{1}$ et $A_{2}$ ne sont pas nécessairement en phase et les deux rayons ne sont pas en phase en S' :

φ_{2} (S') - φ_{1} (S') = φ_{2} (A_{2}) - φ_{1} (A_{1})