Conduction thermique

1. Transferts thermiques

a. Échelles de longueur

Échelle microscopique : molécule ou atome (nanomètre).
Échelle mésoscopique : un grand nombre de molécules, possibilité de définir les variables thermodynamiques (100 nanomètres).
Échelle macroscopique : échelle du dispositif expérimental (millimètre ou plus).

1. Transferts thermiques

a. Échelles de longueur

b. Conduction thermique

Énergie cinétique moyenne d'agitation thermique d'une molécule (ou atome) :

\bar{e_{c}} = α k_{b} T

Conduction thermique : transfert d'énergie cinétique entre les molécules, à cause des chocs et des interactions.

1. Transferts thermiques

a. Échelles de longueur

b. Conduction thermique

c. Convection thermique

Dans un fluide en mouvement à l'échelle macroscopique, transport de l'énergie thermique par le fluide en mouvement.

La conduction reste le transfert à l'échelle microscopique.

1. Transferts thermiques

a. Échelles de longueur

b. Conduction thermique

c. Convection thermique

d. Rayonnement thermique

La matière émet des ondes électromagnétiques à cause de l'agitation thermique.

Corps à 300 K : rayonnement IR lointain.

Corps à 5000 K (Soleil) : rayonnement UV, visible et IR proche.

Puissance surfacique rayonnée proportionnelle à T⁴.

La matière absorbe plus ou moins le rayonnement électromagnétique qu'elle reçoit.

Transferts d'énergie par rayonnement entre deux corps complètement absorbants

2. Température et flux thermique

a. Température locale

La température locale est définie à l'échelle mésoscopique.

À l'échelle macroscopique :

T (x, y, z, t)

Un point à l'échelle macroscopique correspond à un volume mésoscopique.

2. Température et flux thermique

a. Température locale

b. Flux thermique

Surface orientée : surface Σ, vecteur normal unitaire : $\vec{n}$

Orientation de la surface : choix d'un sens pour $\vec{n}$

$δ Q$ : transfert thermique à travers Σ, dans le sens de $\vec{n}$ , entre les instants t et t+dt :

Le signe de $\delta Q$ dépend de l'orientation de la surface.

Le flux thermique à travers une surface orientée est le transfert thermique à travers la surface, dans le sens de sa normale orientée, divisé par la durée du transfert :

Φ (t) = \frac{δ Q}{d t}

Le flux thermique est une puissance thermique (watts).

2. Température et flux thermique

a. Température locale

b. Flux thermique

c. Vecteur densité de flux thermique

Surface élémentaire sur une surface orientée

Flux thermique à travers une surface élémentaire d'aire $dS$ :

δ Φ = \frac{δ^{2} Q}{d t}

$\vec{j}$ : vecteur densité de flux thermique.

δ Φ = \vec{j} (P) \cdot \vec{n} d S = \vec{j} (P) \cdot \vec{d S}

$\vec{j}$ est en $W \cdot m^{- 2}$ .

La direction et le sens de $\vec{j}$ donnent localement la direction et le sens du transfert d'énergie (positif).

Le sens de $\vec{j}$ est objectif (ne dépend pas d'une convention).

Flux thermique sur toute la surface : somme des flux élémentaires.

Φ (t) = \iint_{Σ} \vec{j} (P, t) \cdot \vec{n} (P) d S

Définition : flux d'un vecteur $\vec{a}$ à travers une surface orientée :

Φ = \iint_{Σ} \vec{a} (P) \cdot \vec{n} (P) d S

Le flux thermique à travers une surface orientée est le flux du vecteur densité de flux thermique à travers cette surface.

2. Température et flux thermique

a. Température locale

b. Flux thermique

c. Vecteur densité de flux thermique

d. Loi de Fourier

Conduction dans un solide.

Conduction unidirectionnelle : $T (x, t)$ .

\vec{j} = j_{x} (x, t) {\vec{u}}_{x}

Loi de Fourier pour une conduction unidirectionnelle :

j_{x} (x, t) = - λ \frac{\partial T}{\partial x}

$λ$ : conductivité thermique du matériau (positive).

Unité : $W \cdot K^{- 1} \cdot m^{- 1}$ .

Opérateur gradient, agissant sur un champ scalaire $f (x, y, z)$ :

\vec{g r a d} (f) = \frac{\partial f}{\partial x} {\vec{u}}_{x} + \frac{\partial f}{\partial y} {\vec{u}}_{y} + \frac{\partial f}{\partial z} {\vec{u}}_{z}

Gradient en coordonnées cylindriques :

\vec{g r a d} (f) = \frac{\partial f}{\partial r} {\vec{u}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} {\vec{u}}_{θ} + \frac{\partial f}{\partial z} {\vec{u}}_{z}

Gradient en coordonnées sphériques :

\vec{g r a d} (f) = \frac{\partial f}{\partial r} {\vec{u}}_{r} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial θ} {\vec{u}}_{θ} + \frac{1}{r sin θ} \frac{\partial f}{\partial φ} {\vec{u}}_{φ}

Loi de Fourier générale :

\vec{j} = - λ \vec{g r a d} (T)

Conduction unidimensionnelle cylindrique : $T (r)$

\vec{j} = - λ \frac{\partial T}{\partial r} {\vec{u}}_{r}

Conduction unidimensionnelle sphérique : $T (r)$

\vec{j} = - λ \frac{\partial T}{\partial r} {\vec{u}}_{r}

3. Équation de diffusion thermique

a. Conduction unidirectionnelle sans source

Conduction thermique dans un solide.

Conduction unidirectionnelle : $T (x, t)$

Vecteur densité de flux thermique : $\vec{j} = j_{x} (x, t) {\vec{u}}_{x}$

Premier principe appliqué au volume entre $x$ et $x+dx$ de $t$ à $t+dt$

Transferts thermiques entrant :

\begin{matrix} δ Q_{x} = Φ (x, t) d t = j_{x} (x, t) S d t \\ δ Q_{x + d x} = - Φ (x + d x, t) d t = - j_{x} (x + d x, t) S d t \end{matrix}

Énergie interne du volume compris entre $x$ et $x+dx$ :

δ U = u (x, t) S d x

$u (x, t)$ : énergie interne volumique.

Premier principe :

\begin{matrix} u (x, t + d t) S d x - u (x, t) S d x \\ = j_{x} (x, t) S d t - j_{x} (x + d x, t) S d t \end{matrix}

\frac{u (x, t + d t) - u (x, t)}{d t} + \frac{j_{x} (x + d x) - j_{x} (x)}{d x} = 0

Forme locale du premier principe :

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial j_{x}}{\partial x} = 0

Pas de réactions chimiques ou de changements d'état :

\frac{\partial u}{\partial t} = ρ c \frac{\partial T}{\partial t}

$ρ$ : masse volumique, $c$ : capacité thermique massique.

Loi de Fourier :

j_{x} = - λ \frac{\partial T}{\partial x}

Milieu homogène : $λ$ ne dépend pas de $x$ .

Équation de diffusion thermique pour une conduction unidirectionnelle sans source dans un milieu homogène :

ρ c_{p} \frac{\partial T}{\partial t} = λ \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}

Équation aux dérivées partielles pour $T (x, t)$ .

\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}

Coefficient de diffusion thermique (en $m^{2} \cdot s^{- 1}$ ) :

D = \frac{λ}{ρ c_{p}}

3. Équation de diffusion thermique

a. Conduction unidirectionnelle sans source

b. Conduction unidirectionnelle avec source

Sources thermiques :

Dissipation électrique en présence d'un courant électrique.
Réaction chimique exothermique ou endothermique.
Phénomènes magnétiques dissipatifs.

Puissance thermique par unité de volume : $p$ ( $W \cdot m^{- 3}$ ).

Équation de diffusion thermique avec source :

ρ c_{p} \frac{\partial T}{\partial t} = λ \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}} + p

3. Équation de diffusion thermique

a. Conduction unidirectionnelle sans source

b. Conduction unidirectionnelle avec source

c. Conduction tridimensionnelle avec source

Opérateur laplacien d'un champ scalaire $f (x, y, z)$ :

Δ (f) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

Attention : ne pas confondre avec la notation des accroissements finis.

Autre notation : $\nabla^{2} (f)$ .

Laplacien en coordonnées cylindriques :

Δ (f) = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial f}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

Équation de diffusion thermique :

ρ c_{p} \frac{\partial T}{\partial t} = λ Δ (T) + p

3. Équation de diffusion thermique

a. Conduction unidirectionnelle sans source

b. Conduction unidirectionnelle avec source

c. Conduction tridimensionnelle avec source

d. Conditions limites et condition initiale

Équation de diffusion unidirectionnelle à résoudre pour $x \in a, b$ et pour $t \geq 0$ :

\frac{\partial T}{\partial t} = D \frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}

Pour $t > 0$ , la température est une fonction continue de $x$ (diffusion quasi instantanée à l'échelle mésoscopique).

Condition initiale :

T (x, 0)

Conditions limites, températures connues sur les bords du domaine :

T (a, t) = T_{a}

T (b, t) = T_{b}

Autre condition limite : flux thermique connu sur un bord. Loi de Fourier :

Φ (a, t) = - λ S \frac{\partial T}{\partial x} (a, t)

Flux thermique constant :

Φ (a, t) = Φ_{a}

Condition limite :

\frac{\partial T}{\partial x} (a, t) = - \frac{Φ_{a}}{λ S}

3. Équation de diffusion thermique

a. Conduction unidirectionnelle sans source

b. Conduction unidirectionnelle avec source

c. Conduction tridimensionnelle avec source

d. Conditions limites et condition initiale

e. Conduction dans une plaque

Conduction unidirectionnelle dans une plaque d'épaisseur e, avec des températures fixées sur les bords.

Temps caractéristique :

τ = \frac{e^{2}}{D} = \frac{e^{2} ρ c_{p}}{λ}

Changements de variables :

\begin{matrix} x' = \frac{x}{e} \\ t' = \frac{t}{τ} \\ T' = \frac{T - T_{2}}{T_{1} - T_{2}} \end{matrix}

Équation de diffusion adimentionnée

\frac{\partial T'}{\partial t'} = \frac{\partial^{2} T'}{\partial x'^{2}}

Condition initiale et conditions limites

\begin{matrix} T' (x', 0) = 0 \\ T' (0, t') = 1 \\ T' (1, t') = 0 \end{matrix}

Animation : Diffusion à une dimension.

Régime stationnaire :

\frac{\partial T}{\partial t} \approx 0

Durée du régime transitoire :

t_{r e l a x} \approx 0, 2 \frac{e^{2}}{D}

Coefficient de diffusion thermique


Materiau	λ (W/m/K)	ρ (kg/m³)	c (J/K/kg)	D (m²/s)
Aluminium	237	2700	897	9.8e-05
Fer	80.2	7870	449	2.3e-05
Tungsten	174	19300	132	6.8e-05
Eau(l)	0.61	1000	4180	1.5e-07
Eau(s)	2.2	917	2050	1.2e-06
Azote(g)	0.026	1.15	1040	2.2e-05
Silice	1.4	2200	703	9e-07

Exemple : durée du régime transitoire pour une vitre d'épaisseur 4 mm.

3. Équation de diffusion thermique

a. Conduction unidirectionnelle sans source

b. Conduction unidirectionnelle avec source

c. Conduction tridimensionnelle avec source

d. Conditions limites et condition initiale

e. Conduction dans une plaque

f. Échange thermique entre deux plaques

Deux plaques initialement de températures différentes, mises en contact thermique à $t=0$. Flux thermique nul sur les bords.

Condition initiale :

\begin{matrix} T (x, 0) = T_{1} p o u r x < 0 \\ T (x, 0) = T_{2} p o u r x > 0 \end{matrix}

Conditions limites :

\begin{matrix} \frac{\partial T}{\partial x} (- \frac{e}{2}, t) = 0 \\ \frac{\partial T}{\partial x} (\frac{e}{2}, t) = 0 \end{matrix}

4. Régime stationnaire

a. Définition

En régime stationnaire, la température est indépendante du temps en tout point du système :

\frac{\partial T}{\partial t} = 0

Équilibre thermique : régime stationnaire de température uniforme.

Un système soumis à des flux aux frontières tend vers un régime stationnaire qui n'est pas un état d'équilibre.

4. Régime stationnaire

a. Définition

b. Bilan d'énergie

Volume délimité par une surface fermée $Σ$ .

En l'absence de sources, le flux thermique entrant sur $Σ$ est nul.

En présence de sources, la puissance générée à l'intérieur est égale au flux thermique sortant.

P^{i n t} = \iint_{Σ} \vec{j} (P) \cdot {\vec{n}}_{s} (P) d S

${\vec{n}}_{s}$ : normale sortante.

4. Régime stationnaire

a. Définition

b. Bilan d'énergie

c. Conduction dans une plaque

Équation de diffusion thermique en régime stationnaire :

\frac{d^{2} T}{d x^{2}} = 0

Conservation du flux thermique :

Φ = j_{x} S = - λ S \frac{d T}{d x}

Profil de température en régime stationnaire :

T (x) = - \frac{Φ}{λ S} x + T_{1}

Différence de température :

T_{1} - T_{2} = \frac{e}{λ S} Φ

Analogie électrique : $V_1-V_2=RI$

Résistance thermique d'une plaque d'épaisseur $e$ et d'aire $S$

R = \frac{e}{λ S}

Pour une différence de températures donnée, plus la résistance thermique est grande, plus le flux est faible.

Exemple : résistance thermique d'un mur en béton d'épaisseur 20 cm et de conductivité 2 W⋅K^-1⋅m^-1.

Flux thermique surfacique pour $T_{1} = 2 0^{\circ} C$ et $T_{2} = 5^{\circ} C$ .

4. Régime stationnaire

a. Définition

b. Bilan d'énergie

c. Conduction dans une plaque

d. Conduction dans deux plaques

Association en série des résistances : un même flux traverse les deux plaques.

R = R_{1} + R_{2} = \frac{e_{1}}{λ_{1} S} + \frac{e_{2}}{λ_{2} S}

Exemple : mur en béton associé à une plaque de laine de roche d'épaisseur 15 cm et de conductivité 0,035 W⋅K^-1⋅m^-1 et une plaque de plâtre d'épaisseur 13 mm et de conductivité 0,050 W⋅K^-1⋅m^-1.

Deux plaques parallèles

Flux à travers les deux plaques :

Φ = Φ_{1} + Φ_{2}

Résistances thermiques en parallèle :

\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{λ_{1} S_{1}}{e_{1}} + \frac{λ_{2} S_{2}}{e_{2}}

Résistance thermique par unité de surface :

r = \frac{e}{λ} (K \cdot W^{- 1} \cdot m^{2})

Résistance thermique pour une surface d'aire S :

R = \frac{r}{S}

4. Régime stationnaire

a. Définition

b. Bilan d'énergie

c. Conduction dans une plaque

d. Conduction dans deux plaques

e. Dissipation dans une plaque

p : puissance volumique dissipée uniforme.

Non conservation du flux : pas de résistance thermique.

Équation de diffusion thermique en régime stationnaire :

\frac{d^{2} T}{d x^{2}} = - \frac{p}{λ}

À résoudre avec les deux conditions limites :

\begin{matrix} T (- \frac{e}{2}) = T_{1} \\ T (\frac{e}{2}) = T_{1} \end{matrix}

5. Convection

a. Convection au voisinage des surfaces

Échange thermique entre la surface d'un solide et un fluide en écoulement. $Φ_{s}$ : flux thermique sortant du solide par sa surface.

L'échange thermique conducto-convectif entre la surface d'un solide et le fluide peut être modélisé par la loi de Newton :

Φ_{s} = S h (T_{s} - T_{\infty})

$h$ : coefficient d'échange conducto-convectif.

$T_{s}$ : température de la surface du solide.

$T_{\infty}$ : température du fluide loin du solide.

Convection forcée : mouvement de fluide créé volontairement (écoulement d'eau, ventilation , etc.).

Gaz : $h \approx 30 - 500 W \cdot K^{- 1} \cdot m^{- 2}$ .
Eau : $h \approx 300 - 20000 W \cdot K^{- 1} \cdot m^{- 2}$ .

Convection libre (ou naturelle) : mouvement de fluide spontané causé par le transfert thermique lui-même.

Convection libre (ou naturelle) :

Gaz : $h \approx 5 - 30 W \cdot K^{- 1} \cdot m^{- 2}$ .
Eau : $h \approx 30 - 300 W \cdot K^{- 1} \cdot m^{- 2}$ .

5. Convection

a. Convection au voisinage des surfaces

b. Condition limite

Premier principe appliqué au volume entre $-dx$ et 0 entre $t$ et $t+dt$.

\begin{matrix} S d x (u (0, t + d t) - u (0, t)) = \\ - Φ_{s} d t + S j_{x} (- d x, t) d t + p S d x d t \end{matrix}

Limite $d x \to 0$

S j_{x} (0, t) = Φ_{s}

Le flux de conduction sur la surface est égal au flux conducto-convectif vers le fluide.

Condition limite :

- λ \frac{\partial T}{\partial x} (0, t) = h (T (0, t) - T_{\infty})

5. Convection

a. Convection au voisinage des surfaces

b. Condition limite

c. Convection en régime stationnaire

Plaque avec échange conducto-convectif entre le solide et les fluides

Résistance thermique associée à l'échange conducto-convectif sur une surface d'aire $S$ :

R_{c c} = \frac{1}{h S}

Valable pour les surfaces planes et les surfaces courbes.

Résistance thermique totale :

R = R_{1} + R_{p} + R_{2} = \frac{1}{h_{1} S} + \frac{e}{λ S} + \frac{1}{h_{2} S}

Flux thermique cédé par le fluide 1, traversant la plaque, et transmis vers le fluide 2 :

Φ = \frac{T_{1} - T_{2}}{R}

Température de surface de la plaque (en $x = 0$ ) :

T_{1} - T (0) = R_{1} Φ = \frac{R_{1}}{R} (T_{1} - T_{2})

Si la résistance thermique de convection est très faible devant la résistance de la plaque :

T (0) \approx T_{1}

Ce cas est obtenu formellement par $h_{1} \to \infty$ (très forte convection).

Exemple : mur en béton associée à une plaque de laine de roche et une plaque de plâtre. Coefficient de convection à l'intérieur $h_{i} = 10 W \cdot K^{- 1} \cdot m^{- 2}$ et à l'extérieur $h_{e} = 100 W \cdot K^{- 1} \cdot m^{- 2}$ .

Comparer le flux sans et avec la laine de roche.

6. Conduction en géométrie cylindrique

a. Équation de diffusion thermique

Conduction unidimensionnelle dans un tuyau :

T (r, t) e t \vec{j} = j_{r} (r, t) {\vec{u}}_{r}

Premier principe appliqué au volume entre $r$ et $r+dr$ (cylindre de longueur $L$) entre les instants $t$ et $t+dt$ :

\begin{matrix} (u (r, t + d t) - u (r, t)) L 2 π r d r \\ = (j_{r} (r, t) L 2 π r - j_{r} (r + d r, t) L 2 π (r + d r)) d t \end{matrix}

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{r} \frac{\partial (r j_{r})}{\partial r} = 0

Pas de réactions chimiques ou de changements d'état :

\frac{\partial u}{\partial t} = ρ c \frac{\partial T}{\partial t}

$ρ$ : masse volumique, $c$ : capacité thermique massique.

Loi de Fourier :

j_{r} = - λ \frac{\partial T}{\partial r}

Milieu homogène : $λ$ ne dépend pas de $r$ .

Équation de diffusion thermique en conduction unidimensionnelle cylindrique sans sources :

ρ c_{p} \frac{\partial T}{\partial t} = λ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial T}{\partial r})

Avec source de densité de puissance $p (r)$ :

ρ c_{p} \frac{\partial T}{\partial t} = λ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial T}{\partial r}) + p

6. Conduction en géométrie cylindrique

a. Équation de diffusion thermique

b. Régime stationnaire

Sans sources :

\frac{1}{r} \frac{d}{d r} (r \frac{d T}{d r}) = 0

\frac{d T}{d r} = \frac{A}{r}

Conservation du flux :

Φ = L 2 π r j_{r} (r) = - L 2 π λ A

T (r) = - \frac{Φ}{L 2 π λ} ln (r) + B

Conditions limites :

\begin{matrix} T (R_{1}) = T_{1} \\ T (R_{2}) = T_{2} \end{matrix}

Résistance thermique

R = \frac{T_{1} - T_{2}}{Φ} = \dots

6. Conduction en géométrie cylindrique

a. Équation de diffusion thermique

b. Régime stationnaire

c. Convection sur la surface

Résistance thermique pour l'échange conducto-convectif sur la face externe :

R_{c c, 1} = \frac{1}{h_{1} S_{1}} = \frac{1}{h_{1} L 2 π R_{1}}