Systèmes ouverts

Systèmes ouverts en régime stationnaire

1. Machines à écoulement stationnaire

a. Machine à vapeur

1. Machines à écoulement stationnaire

a. Machine à vapeur

b. Turbine à vapeur

Travail fourni par le fluide aux aubages mobiles.

1. Machines à écoulement stationnaire

a. Machine à vapeur

b. Turbine à vapeur

c. Échangeur thermique

Échange thermique entre le fluide et l'extérieur.

2. Système ouvert en régime stationnaire

a. Conservation de la masse

Pendant une durée $d t$ la masse entrante est égale à la masse sortante.

Débit massique :

D_{m} = \frac{δ m}{d t}

Régime d'écoulement stationnaire : le débit massique est constant.

2. Système ouvert en régime stationnaire

a. Conservation de la masse

b. Système fermé à frontières mobiles

2. Système ouvert en régime stationnaire

a. Conservation de la masse

b. Système fermé à frontières mobiles

c. Bilan d'enthalpie

Premier principe appliqué au système fermé :

d U + d E_{c} + d E_{p} = δ W_{u} + δ W_{1} + δ W_{2} + δ Q

$δ W_{u}$ : travail utile des forces de pression, exercées par les parties mobiles dans l'organe.

$δ W_{1}$ : travail des forces de pression en entrée.

$δ W_{2}$ : travail des forces de pression en sortie.

$δ Q$ : transfert thermique (utile).

Écoulement unidimensionnel.

Déplacement de la frontière mobile en entrée : $d X_{1}$ .

Travail : $δ W_{1} = F_{1} d X_{1} = P_{1} δ V_{1} = δ m P_{1} v_{1}$ .

Déplacement de la frontière mobile en sortie : $d X_{2}$ .

Travail : $δ W_{2} = - F_{2} d X_{2} = - P_{2} δ V_{2} = - δ m P_{2} v_{2}$ .

Variation d'énergie interne du système fermé :

\begin{matrix} d U & = U_{f} - U_{i} \\ = δ m u_{2} + U^{s o} (t_{f}) - (δ m u_{1} + U^{s o} (t_{i})) \end{matrix}

$U^{s o}$ : énergie du fluide dans l'organe, constante en régime stationnaire.

Variation d'énergie cinétique du système fermé :

\begin{matrix} d E_{c} & = E_{c} (t_{f}) - E_{c} (t_{i}) \\ = \frac{1}{2} δ m c_{2}^{2} + E_{c}^{s o} (t_{f}) - (\frac{1}{2} δ m c_{1}^{2} + E_{c}^{s o} (t_{i})) \end{matrix}

$E_{c}^{s o}$ : énergie cinétique du fluide dans l'organe, constante en régime stationnaire.

Variation d'énergie potentielle du système fermé :

\begin{matrix} d E_{p} & = E_{p} (t_{f}) - E_{p} (t_{i}) \\ = δ m e_{p 2} + E_{p}^{s o} (t_{f}) - (δ m e_{p 1} + E_{p}^{s o} (t_{i})) \end{matrix}

$E_{p}^{s o}$ : énergie potentielle du fluide dans l'organe, constante en régime stationnaire.

Exemple : énergie potentielle de pesanteur dans les systèmes hydrauliques à forte dénivellée $e_{p} = g z$ .

Premier principe pour un système ouvert en régime stationnaire:

h_{2} - h_{1} + e_{2} - e_{1} = w_{u} + q

$h_{1}, h_{2}$ : enthalpies massiques en entrée et en sortie.

$e_{1}, e_{2}$ : énergies mécaniques massiques en entrée et en sortie.

$w_{u}$ : travail utile massique reçu par le fluide.

$q$ : transfert thermique massique vers le fluide.

Bilan d'énergie par unité de temps :

\begin{matrix} δ m (Δ h + Δ e) = δ m w_{u} + δ m q \\ D_{m} (Δ h + Δ e) = P_{u} + Φ_{t} \end{matrix}

$P_{u}$ : puissance mécanique utile.

$Φ_{t}$ : puissance thermique utile (flux thermique).

2. Système ouvert en régime stationnaire

a. Conservation de la masse

b. Système fermé à frontières mobiles

c. Bilan d'enthalpie

d. Bilan d'entropie

Second principe pour un système ouvert en régime stationnaire :

s_{2} - s_{1} = s_{c} + s_{e}

$s_{1}, s_{2}$ : entropies massiques en entrée et en sortie.

$s_{c}$ : entropie créée massique dans l'organe, strictement positive pour une transformation réelle, nulle dans le cas idéal réversible.

$s_{e}$ : entropie reçue massique.

3. Diagrammes thermodynamiques

a. Diagramme PV

Mélange diphasé (Liq/Vap) à l'équilibre à la pression $P$ :

$T=T_{vap}(P)$.

$x$ : titre en vapeur.

$v_l$(P) : volume massique du liquide saturant.

$v_v$(P) : volume massique de la vapeur saturante.

Volume massique du mélange :

v = x v_{v} (P) + (1 - x) v_{l} (P)

3. Diagrammes thermodynamiques

a. Diagramme PV

b. Diagramme PH

$h_l$(P) : enthalpie massique du liquide saturant.

$h_v$(P) : enthalpie massique de la vapeur saturante.

Enthalpie massique de vaporisation à la pression $P$ :

Δ_{v a p} h (P) = h_{v} (P) - h_{l} (P)

Enthalpie massique du mélange :

h = x h_{v} (P) + (1 - x) h_{l} (P)

3. Diagrammes thermodynamiques

a. Diagramme PV

b. Diagramme PH

c. Diagramme TS

Entropie de vaporisation à la pression $P$ :

\begin{matrix} Δ_{v a p} s (P) & = s_{v} (P) - s_{l} (P) \\ = \frac{Δ_{v a p} h (P)}{T_{v a p} (P)} \end{matrix}

4. Machine à vapeur : cycle de Rankine

Hypothèses :

Turbine : détente adiabatique et réversible.
Pompe : compression adiabatique et réversible.
Vapeur saturante en sortie de l'évaporateur.
Liquide saturant en sortie du condenseur.

Premier principe pour chaque organe :

\begin{matrix} h_{2} - h_{1} = q_{c} \\ h_{3} - h_{2} = - w_{t} \\ h_{4} - h_{3} = - q_{f} \\ h_{1} - h_{4} = w_{p} \end{matrix}

Second principe pour chaque organe :

\begin{matrix} s_{2} - s_{1} = s_{c} + s_{e} \\ s_{3} - s_{2} = 0 \\ s_{4} - s_{3} = s_{c}' + s_{e}' \\ s_{1} - s_{4} = 0 \end{matrix}

Efficacité de la machine (moteur) :

η = \frac{w_{t} - w_{p}}{q_{c}} = 1 - \frac{h_{3} - h_{4}}{h_{2} - h_{1}} = 0, 38