TP 4 - Filtre actif passe-bas

4.a. Étude théorique

Le filtre actif présenté ci-dessous comporte un ALI monté en suiveur :

Figure pleine page

La fonction de transfert de ce filtre est déterminée en utilisant le modèle d'ALI idéal de gain infini (voir annexe). Les courants dans les entrées IN+ et IN- sont nuls et on a V₊=V_-. Il s'en suit que V₊=V_s. Écrivons la loi des nœuds en N₁ en régime sinusoïdal : la somme des intensités des courants arrivant en ce nœud est nulle :

$$\frac{V_e-V_1}{R}+\frac{V_s-V_1}{R}+\frac{V_s-V_1}{\frac{1}{2jC\omega }}=0$$

La loi des nœuds en N₂ s'écrit :

$$\frac{V_1-V_s}{R}+\frac{0-V_s}{\frac{1}{jC\omega }}=0$$

L'élimination de V₁ de ces deux équations conduit à :

$$V_e=V_s(1+2jRC\omega -2{\left(RC\omega \right)}^2)$$

d'où l'on déduit la fonction de transfert harmonique :

$$\underline{H}\left(\omega \right)=\frac{1}{1+\sqrt{2}j\frac{\omega }{{\omega }_c}-(\frac{\omega }{{\omega }_c}{)}^2}\text{(1)}$$

avec :

$${\omega }_c=\frac{1}{\sqrt{2}RC}\text{(2)}$$

[11] Exprimer le gain G(ω) et vérifier que ω_c est la pulsation de coupure à -3dB.

[12] Tracer le diagramme de Bode de ce filtre pour f_c=1000 Hz (gain en décibel et déphasage).

[13] Tracer le gain et le déphasage en fonction de la fréquence (en échelle linéaire) pour f variant de 0 à 2f_c.

Il est possible de réaliser un filtre passif ayant cette fonction de transfert (filtre passe-bas du deuxième ordre de Butterworth) mais cela nécessite l'emploi d'une bobine plus ou moins encombrante. L'utilisation d'un ALI permet de réaliser ce type de filtre avec seulement des condensateurs et des résistors. Le deuxième avantage d'un filtre actif est l'impédance de sortie quasi nulle.

L'impédance de sortie pratiquement nulle est une propriété remarquable des filtres actifs, qui facilite beaucoup la conception de filtres d'ordre élevé. Considérons par exemple un filtre d'ordre 4 construit en associant en série deux filtres actifs d'ordre 2. Le schéma équivalent d'un filtre vue de l'entrée est une impédance (son impédance d'entrée). Le schéma équivalent d'un filtre vu de la sortie est une source de tension car la résistance de sortie est nulle. Le schéma équivalent de l'association des deux filtres est donc le suivant :

Figure pleine page

La fonction de transfert de l'association en série des deux filtres actifs est donc :

$$\underline{H}\left(\omega \right)={\underline{H}}_2\left(\omega \right){\underline{H}}_1\left(\omega \right)$$

Le premier filtre se comporte exactement comme si sa sortie était ouverte, c'est-à-dire sans le filtre 2. Cette propriété n'est pas du tout vérifiée pour les filtres passifs (filtres ne comportant que R,C et L), ce qui rend difficile la conception de filtres passifs d'ordre élevé.

Remarque : il faut bien sûr que l'impédance d'entrée d'un filtre soit assez grande pour que la sortie de l'ALI du filtre précédent ne présente pas de saturation. En pratique, une impédance d'entrée de l'ordre de 10 kΩ est largement suffisante et facile à réaliser.

4.b. Étude expérimentale en régime sinusoïdal

Le filtre utilisé a une fréquence de coupure d'environ f_c=1000 Hz. Il est réalisé dans un boitier (filtre passe-bas Sallen-Key) dont une photo est montrée ci-dessous :

Le circuit est alimenté avec une alimentation double $\pm 15V$. On utilise pour cela les bornes rouge (+ 15), noir (0) et bleue (-15). Sur l'aure côté du boitier, on trouve l'entrée du filtre (borne jaune) et la sortie (borne verte), avec la masse (GND, borne noire). Bien évidemment, les deux bornes de masse sont reliées en interne (masse du circuit) mais elles doivent être reliées à la masse du générateur de signaux et de l'oscilloscope, et au point 0 de l'alimentation double.

[14] Réaliser le câblage. L'entrée V_e est observée sur la voie 1 de l'oscilloscope, la sortie V_s sur la voie 2. Pour l'étude du filtre, la résistance de charge n'est pas nécessaire, puisque la réponse du filtre en régime linéaire est indépendante de la valeur de cette résistance (résistance de sortie nulle).

[15] Vérifier le fonctionnement linéaire du filtre, pour toute amplitude jusqu'à 10 V. Vérifier le comportement passe-bas.

[16] Pour une fréquence f=5000 Hz, mesurer la valeur efficace de V_e. Utiliser pour cela la mesure CA EFF (plein écran), qui donne l'écart-type du signal échantillonné. Faire de même pour V_s.

La valeur efficace CA d'un signal périodique V(t) de période T est définie par :

$$V_{eff}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{(V\left(t\right)-V_m)}^{2}dt}\text{(3)}$$

où V_m désigne la valeur moyenne du signal (nul dans le cas présent). Pour un signal échantillonné, la valeur efficace est l'écart-type des échantillons. Pour un signal sinusoïdal, il existe une relation simple entre la valeur efficace CA et l'amplitude :

$$A=\sqrt{2}{V}_{eff}\text{(4)}$$

[17] Déduire des mesures de valeurs efficaces le gain G du filtre à f=1000 Hz. Refaire la mesure pour plusieurs amplitudes.

[18] Au moyen de la mesure de valeur efficace, ajuster la fréquence pour être sur la coupure à -3 dB. Noter cette fréquence. Mesurer le déphasage.

[19] Mesurer le retard entre la sortie et l'entrée pour les fréquences suivantes : 10 Hz, 50 Hz, 100 Hz, 500 Hz. Que constate-t-on ?

4.c. Étude expérimentale en régime périodique

On s'intéresse à la sortie V_s(t) lorsque le signal d'entrée V_e(t) est périodique et dans le cas où tous ces harmoniques importants sont dans la bande passante du filtre. Supposons que V_e soit à bande de fréquences limitée et considérons sa série de Fourier :

$$V_e\left(t\right)=\frac{C_0}{2}+\sum _{n=1}^P{C}_{n}cos(n{\omega }_{1}t+{\Phi }_n)\text{(5)}$$

La seconde propriété s'écrit :

$$\varphi =-\tau \omega \text{(6)}$$

où $\tau$ est le retard de la sortie par rapport à l'entrée.

Si ces deux propriétés sont vérifiées, la série de Fourier de la sortie s'écrit :

$$\begin{array}{cc}\hfill V_s\left(t\right)& =G\frac{C_0}{2}+\sum _{n=1}^{P}G{C}_{n}cos(n{\omega }_{1}t+{\Phi }_n-\tau n{\omega }_1)\hfill \\ \hfill & =G\frac{C_0}{2}+\sum _{n=1}^{P}G{C}_{n}cos(n{\omega }_1(t-\tau )+{\Phi }_n)\hfill \\ \hfill & =V_e(t-\tau )\hfill \end{array}$$

En conséquence, le signal de sortie est identique au signal d'entrée mais retardé de $\tau$.

Pour un filtre réel, les deux propriétés ne peuvent être qu'imparfaitement vérifiées donc il y a nécessairement une distorsion plus ou moins forte du signal, même si tous ces harmoniques sont dans la bande passante. Cependant, plus la fréquence fondamentale est basse, plus on s'approche du cas idéal et moins il y a de distorsions.

On se propose de tester le filtre avec un signal triangulaire de fréquence 100 Hz et d'amplitude 5 V.

[20] Ce signal est-il à bande de fréquences limitée ?

[21] La déformation du signal en sortie est-elle visible ? À quelle endroit de la forme d'onde ? Comment l'explique-t-on ?

[22] Mesurer le retard de la sortie par rapport à l'entrée ? Est-il égal au retard mesuré en régime sinusoïdal ?

[23] Au moyen de la fonction FFT de l'oscilloscope (voir annexe), comparer les spectres de V_e(t) et de V_s(t). À partir de quel harmonique la différence est-elle visible ?

[24] Abaisser la fréquence à 10 Hz. Comparer l'entrée et la sortie du filtre. Vérifier que le retard est le même que pour une fréquence de 100 Hz.

5.a. Fonctionnement en boucle ouverte

L'amplificateur linéaire intégré (ALI), aussi nommé amplificateur opérationnel, est un circuit intégré qui fonctionne avec une alimentation. Il comporte 5 bornes :

• Vcc+ : borne d'alimentation positive.
• Vcc- : borne d'alimentation négative.
• IN + : entrée non inverseuse.
• IN - : entrée inverseuse.
• OUT : sortie.

Voici le schéma d'un ALI :

Figure pleine page

La tension de sortie est comprise entre Vcc- et Vcc+. En conséquence, si l'on veut que la tension de sortie puisse prendre des valeurs négatives par rapport à la masse, la tension d'alimentation Vcc- doit être négative par rapport à la masse. On doit donc utiliser une alimentation double, par exemple une alimentation -15/0/+15 V. La borne -15 V de l'alimentation est connectée à la borne Vcc- de l'ALI, la borne +15 V à la borne Vcc+ et la borne 0 à la masse du circuit (mais l'ALI lui-même n'a pas de borne de masse).

L'ALI est un amplificateur différentiel : la tension de sortie (par rapport à la tension $(V_{cc+}-V_{cc-})/2$) est égale à la différence des tensions entre IN+ et IN- multipliée par un gain. Le gain de l'ALI est très élevé (de l'ordre de 100 000) car l'ALI est conçu pour être utilisé avec une rétroaction. Par ailleurs, l'ALI se comporte comme un filtre passe-bas, c'est-à-dire que son gain diminue lorsque la fréquence augmente. Pour définir le gain de L'ALI, on introduit les tensions complexes en régime sinusoïdal : $\underline{V_s}$ la tension de sortie, $\underline{V_{-}}$ la tension de l'entrée inverseuse et $\underline{V_{+}}$ celle de l'entrée non-inverseuse. Ces trois tensions sont des différences de potentiel par rapport à la masse. L'ALI est caractérisé par la relation linéaire suivante :

$$\underline{V_s}=V_0+\frac{\mu }{1+j\frac{f}{f_c}}(\underline{V_{+}}-\underline{V_{-}})\text{(7)}$$

avec :

$$V_0=\frac{V_{cc+}+V_{cc-}}{2}\text{(8)}$$

Dans les montage étudiés ici, on a $V_{cc-}=-V_{cc+}$ (l'alimentation est symérique) donc $V_0=0$.

L'ALI se comporte donc comme un filtre passe-bas du premier ordre. μ est le gain à fréquence nulle, dont la valeur est de l'ordre de 10⁵. La fréquence de coupure f_c est de l'ordre de 10 Hz. Cette relation est valable lorsque l'ALI fonctionne en régime linéaire. Il peut arriver que l'ALI soit en régime non linéaire : dans ce cas, la tension de sortie est égale soit à Vcc+ (saturation positive), soit à Vcc- (saturation négative). En réalité, la tension de saturation est souvent légèrement inférieure en valeur absolue à la tension d'alimentation (d'environ 0,7 V). Dans le cas d'une utilisation de l'ALI pour la réalisation de filtres linéaires, la saturation devra être évitée car l'ALI doit fonctionner en régime linéaire. Par ailleurs, lorsqu'un courant sort de l'ALI, il peut arriver qu'une saturation se produise lorsque le courant limite est atteint (voir le montage suiveur ci-dessous). Dans tous les cas, la saturation de la tension de sortie indique que l'ALI ne fonctionne plus en régime linéaire et cette situation doit être évitée si l'ALI est utilisé comme élément d'un système linéaire.

Voici le brochage d'un ALI intégré dans un boitier DIP 8 broches :

Figure pleine page

5.b. Suiveur de tension

L'ALI ne peut être utilisé en boucle ouverte car son gain est beaucoup trop grand et sa fréquence de coupure beaucoup trop faible. On doit donc lui ajouter une rétroaction, qui consiste à renvoyer une partie de la tension de sortie vers une des entrées. Pour que le système soit stable et fonctionne en régime linéaire, la rétroaction doit se faire vers l'entrée inverseuse (IN-).

Le montage suiveur de tension (ou plus simplement suiveur) met en œuvre la forme la plus simple de rétroaction négative : la tension de sortie est directement appliquée sur l'entrée IN- :

Figure pleine page

Le générateur de signaux est représenté avec sa résistance de sortie (50 Ω). D'une manière générale, le circuit que l'on place avant le suiveur comporte une résistance de sortie plus ou moins grande. Le suiveur comporte un ALI et un fil reliant la sortie à l'entrée IN-. L'entrée du suiveur est l'entrée IN+ de l'ALI. On a aussi placé une résistance de charge en sortie, qui représente la résistance du circuit que l'on place à la suite du suiveur. La possibilité de placer une résistance de charge relativement basse sans modifier la valeur de V_s constitue justement l'intérêt du suiveur.

La résistance d'entrée des entrées IN- et IN+ est très grande, de l'ordre de plusieurs GΩ pour un ALI à transistors FET (par ex. le TL081). L'intensité qui entre dans l'entrée IN- est donc négligeable. En conséquence, l'intensité qui sort de OUT est celle qui traverse la résistance de charge. De même, l'intensité qui entre dans IN+ est négligeable et on a donc :

$$V_e\left(t\right)=e\left(t\right)\text{(9)}$$

Considérons le fonctionnement en régime sinusoïdal permanent. On a évidemment :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \underline{V_{+}}=\underline{V_e}\hfill & \hfill \text{(10)}\\ \hfill & \underline{V_{-}}=\underline{V_s}\hfill & \hfill \text{(11)}\end{array}$$

La relation $\mathrm{(7)}$, qui définit le fonctionnent de l'ALI en régime linéaire, conduit donc à :

$$\underline{V_s}=\frac{\mu }{1+j\frac{f}{f_c}}(\underline{V_e}-\underline{V_s})\text{(12)}$$

On obtient ainsi la fonction de transfert harmonique du montage suiveur :

$$\underline{H}\left(f\right)=\frac{\underline{V_s}}{\underline{V_e}}=\frac{1}{1+\frac{1}{\mu }+j\frac{f}{f_c}}$$

Sachant que $\mu \gg 1$, on peut écrire :

$$\underline{H}\left(f\right)=\frac{1}{1+j\frac{f}{\mu f_c}}\text{(13)}$$

Le suiveur est donc un filtre passe-bas dont le gain à très basse fréquence est 1 et dont la fréquence de coupure est $f{\text{'}}_c=\mu f_c\approx 1MHz$. Pour les signaux dont tous les harmoniques sont dans la bande passante du filtre, on peut donc écrire :

$$V_s\left(t\right)=V_e(t-\tau )\text{(14)}$$

où $\tau =1/\left(2\pi f{\text{'}}_c\right)\approx 0,16\mu s$ est le retard de la sortie par rapport à l'entrée. Pour des fréquences inférieures à 10 kHz, ce retard est négligeable par rapport à la période.

La tension de sortie suit la tension d'entrée, d'où le nom de suiveur donné à ce circuit. L'intérêt du suiveur réside dans sa résistance d'entrée très grande et dans sa résistance de sortie très faible (quelques milli-ohms). Le calcul de ces résistances est exposé dans le document Amplificateur de tension.

Le montage présenté ci-dessus permet donc d'obtenir un générateur de signaux de résistance de sortie quasi nulle alors que celle du générateur de laboratoire (GBF) est de 50 Ω. Cependant, le courant délivré par la sortie de l'ALI est limité :

$$I_{min}<I<I_{max}\text{(15)}$$

Tant que cette inégalité est vérifiée, le suiveur fonctionne bien en régime linéaire avec une résistance de sortie quasi nulle. En revanche, si la résistance de charge est trop faible, le courant de sortie sature à la valeur I_max ou I_min et on obtient en conséquence une limitation de la tension de sortie :

$$R_c{I}_{min}<V_s<R_c{I}_{max}\text{(16)}$$

Lorsque la tension de sortie atteint soit la valeur minimale soit la valeur maximale, il se produit une saturation de cette tension. La présence d'une saturation indique que l'ALI ne fonctionne plus en régime linéaire.

Les valeurs de $I_{min}$ et $I_{max}$ sont à peu près opposées mais elles dépendent de la tension de sortie : plus la tension de sortie est grande, plus ces courants limites sont faibles. En conséquence, plus la résistance de charge est grande, plus les courants limites sont faibles. Par ailleurs, ces courants limites augmentent avec la tension d'alimentation.

Par exemple pour l'ALI TL081 alimenté en $\pm 10V$, l'intervalle de courant est $[-7\mathrm{.}2,7\mathrm{.}8]mA$ dans une résistance de charge de 1000 Ω, $[-25,30]mA$ dans une résistance de charge de 100 Ω $[-30,38]mA$ dans une résistance de charge de 10 Ω.

Pour un ALI de faible puissance (comme le TL081), le courant maximal qui peut être délivré en sortie est nettement plus faible que le courant maximal pouvant être délivré par le générateur de signaux. La résistance de sortie de ce dernier est d'ailleurs prévue pour éviter la saturation : la tension e maximale est 10 V, ce qui conduit précisément à un courant de 200 mA lorsqu'une résistance nulle est branchée en sortie du générateur.

Le montage présenté ci-dessus (générateur + suiveur) a donc une résistance de sortie quasi nulle (contrairement au générateur) mais le courant de sortie qu'il peut délivrer est nettement plus faible que celui que peut délivrer le générateur de signaux (200 mA).

5.c. L'ALI idéal de gain infini

Par définition, un ALI idéal a des courants d'entrée nuls et une impédance de sortie en boucle ouverte nulle. Ce modèle a déjà été utilisé pour le calcul de la fonction de transfert dans le paragraphe précédent.

Le modèle d'ALI idéal de gain infini permet de trouver rapidement le gain d'un circuit à fréquence nulle (ou à très basse fréquence). Ce modèle consiste à considérer que l'ALI est idéal et que $\mu \to \infty$. Le fonctionnement linéaire impose que la tension de sortie V_s reste finie, ce qui conduit d'après la relation $\mathrm{(7)}$ à :

$$V_{+}-V_{-}\to 0\text{(17)}$$

On écrit donc pour un ALI idéal de gain infini :

$$V_{+}=V_{-}\text{(18)}$$

Dans le cas du montage suiveur, cette relation conduit immédiatement à :

$$V_s=V_e\text{(19)}$$

Le modèle d'ALI idéal de gain infini permet donc d'obtenir rapidement le gain dans la bande passante (ici 1) mais ne donne aucune information sur la fréquence de coupure. On peut utiliser ce modèle en première approche, pour connaître le gain dans la bande passante, sachant que la fréquence de coupure est souvent très grande par rapport à la fréquence des signaux que l'on traite. Pour les filtres actifs, cette approche est généralement suffisante pour obtenir la bande passante car celle-ci est déterminée par le filtre lui-même et pas par le fonctionnement interne de l'ALI. En revanche, le comportement du filtre à très haute fréquence ne peut pas être calculé avec le modèle d'ALI idéal de gain infini.

5.d. Amplificateur de tension

L'amplificateur de tension est un circuit qui permet d'augmenter une tension très faible. Il existe plusieurs manières de réaliser un amplificateur de tension avec un ALI. Le montage présenté ci-dessous est un amplificateur inverseur :

Figure pleine page

Ce circuit comporte une rétroaction de la sortie de l'ALI vers l'entrée IN-. Cette rétroaction est négative, ce qui est une condition nécessaire pour que l'ALI fonctionne bien en régime linéaire et que la relation $\mathrm{(7)}$ soit vérifiée.

Le courant qui entre dans IN- est négligeable, ce qui implique que l'intensité I du courant qui traverse R₁ est aussi celle du courant qui traverse R₂. On a donc les relations suivantes :

$$\begin{array}{cc}\hfill & \underline{V_e}-\underline{V_{-}}=R_{1}I\hfill \\ \hfill & \underline{V_{+}}=0\hfill \\ \hfill & \underline{V_s}-\underline{V_{-}}=-R_{2}I\hfill \end{array}$$

Le modèle d'ALI idéal de gain infini, qui consiste à écrire $\underline{V_{+}}=\underline{V_{-}}$, conduit à :

$${\underline{H}}^{ideal}=-\frac{R_2}{R_1}\text{(20)}$$

Si R₂ est plus grande que R₁, on obtient un amplificateur de tension, avec un changement de signe de la tension (d'où le nom d'amplificateur inverseur). Il faut noter que le changement de signe est équivalent à un déphasage de π.

Pour connaître la bande passante de l'amplificateur, il faut utiliser la relation $\mathrm{(7)}$. On obtient ainsi :

$$\underline{H}=\frac{-\frac{R_2}{R_1}}{1+(1+\frac{R_2}{R_1})\frac{1+j\frac{f}{f_c}}{\mu }}\text{(21)}$$

Le rapport $R_2/R_1$ est supposé inférieur à 1000 et $\mu \approx 10^5$. Lorsque f=0 on a donc :

$$\underline{H}\approx -\frac{R_2}{R_1}\text{(22)}$$

ce qui correspond bien au gain obtenu avec le modèle d'ALI idéal de gain infini. La fonction de transfert est celle d'un filtre passe-bas du premier ordre, de fréquence de coupure :

$$f{\text{'}}_c=\frac{\mu f_c}{1+\frac{R_2}{R_1}}\text{(23)}$$

Le gain à fréquence nulle étant défini par :

$$G_0=\frac{R_2}{R_1}\text{(24)}$$

On voit que la fréquence de coupure est d'autant moins grande que G₀ est grand. Pour G₀=10, la fréquence de coupure vaut environ 100 kHz. Pour G₀=100, elle vaut 10 kHz. Si on veut à la fois un gain élevé et une grande bande passante, il faut associer plusieurs amplificateurs en série.

Remarque : la résistance R₁ doit être au moins de 10 kΩ car c'est la résistance d'entrée de l'amplificateur. Pour réaliser un amplificateur de gain G₀=10, on prendra donc R₁=10 kΩ et R₂=100 kΩ.