TP 10 : Mesures d'inductances

1. Introduction

On se propose de mesurer l'auto-inductance d'une bobine et l'inductance mutuelle de deux bobines.

Matériel :

• Deux bobines de 500 ou 1000 spires, si possible identiques.
• Un noyau en fer.
• Résistors de 47 Ω et 1,0 kΩ.
• Générateur de signaux.
• Oscilloscope.
• Carte d'acquisition Sysam SP5.
• Alimentation linéaire 12 V pour la carte.
• Règle graduée.

Le traitement des signaux sera fait dans un notebook intitulé mesuresInductances à placer dans un dossier à votre nom, qu'il faudra créer dans partage/TP/TP10 Mesures d'inductances.

2. Résistance et auto-inductance d'une bobine

[1] Au moyen de l'ohmmètre intégré au multimètre, mesurer la résistance de la bobine en régime stationnaire, notée r₀.

[2] Mesurer les résistances des résistors de valeurs nominales 47 Ω et 1,0 kΩ.

On suppose que la bobine peut être modélisée par l'association en série d'une résistance r et d'une auto-inductance L. On réalise le montage suivant, comportant un générateur de signaux, la bobine et une résistance R.

Figure pleine page

L'expérience consiste à appliquer une tension sinusoïdale et à enregistrer d'une part la tension U_r(t) aux bornes de la résistance, d'autre part la tension U_b(t) aux bornes de la bobine. L'entrée EA0 de la carte d'acquisition reçoit la tension U_r(t) par rapport à la masse. Les entrées EA1 et EA5 permettent de faire une mesure différentielle de la tension U_b(t). Le script suivant permet de faire la numérisation :

import pycanum.main as pycan
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
sys=pycan.Sysam("SP5")
Umax = 5.0
sys.config_entrees([0,1,5],[Umax,Umax],diff=[1])
fe=100000.0
te=1.0/fe
duree = 1
N = int(duree*fe)
sys.config_echantillon(te*1e6,N)
sys.acquerir()
t=sys.temps()[0]
U=sys.entrees()
Ur=U[0]
Ub=U[1]
sys.fermer()
# modifier le nom du fichier fichier pour chaque expérience
np.save('bobine-1.npy',np.array([t,Ur,Ub]))
plt.figure()
plt.plot(t,Ur,label='Ur')
plt.plot(t,Ub,label='Ub')
plt.grid()
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('u (V)')
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()
    			   

[3] On se place en régime sinusoïdal permanent de pulsation ω. Établir les équations permettant, à partir de l'analyse des signaux U_r(t) et U_b(t), de calculer r et L.

[4] Réaliser le montage électrique avec R=47 Ω. On utilisera aussi l'oscilloscope pour contrôler les signaux : la voie 1 pour la tension en sortie du générateur, la voie 2 pour la tension aux bornes de R (tension U_r).

[5] Réaliser l'enregistrement des tensions U_r(t) et U_b(t) à une fréquence f=100 Hz.

[6] Mesurer le décalage temporel entre les deux signaux par pointé à la souris. Faire plusieurs relevés et en déduire l'incertitude. Exporter le fichier vers le Jupyter Hub. Déterminer le rapport de leur amplitude et leur déphasage.

[7] Calculer r et L à f=100 Hz. Faire une simulation de Monte-Carlo pour évaluer leur incertitude.

[8] Refaire les mesures à la fréquence f=1000 Hz.

[9] Refaire les mesures avec R=1,0 kΩ et à la fréquence f=10 kHz.

[10] Comparer les valeurs de r obtenues à ces trois fréquences à celle mesurée avec l'ohmmètre.

[11] Quelle valeur de L peut-on attribuer à la bobine (avec son incertitude) ?

[12] Pourquoi faut-il augmenter R lorsqu'on augmente la fréquence ?

3. Inductance mutuelle

Figure pleine page

La première bobine (bobine 1) est alimentée comme précédemment. Elle génère dans l'espace un champ magnétique $\overrightarrow{B_1}$. La seconde bobine (bobine 2) est placée dans l'axe de la première, dans un premier temps en contact avec celle-ci. On s'intéresse à la force élecromotrice d'induction qui apparaît dans cette bobine à cause du champ $\overrightarrow{B_1}$ variable. La tension U_r(t) est visualisée sur la voie 1 de l'oscilloscope et numérisée sur la voie EA0 de la carte Sysam. La tension U₂(t) est visualisée sur la voie 2 de l'oscilloscope et numérisée sur la voie EA1 de la carte Sysam. Voici le script permettant d'acquérir ces deux tensions :

import pycanum.main as pycan
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
sys=pycan.Sysam("SP5")
Umax_1 = 5.0
Umax_2 = 5.0
sys.config_entrees([0,1],[Umax_1,Umax_2])
fe=100000.0
te=1.0/fe
duree = 1
N = int(duree*fe)
sys.config_echantillon(te*1e6,N)
sys.acquerir()
t=sys.temps()[0]
U=sys.entrees()
Ur=U[0]
U2=U[1]
sys.fermer()
# modifier le nom du fichier fichier pour chaque expérience
np.save('mutuelle-1.npy',np.array([t,Ur,U2]))
plt.figure()
plt.plot(t,Ur,label='Ur')
plt.plot(t,U2,label='U2')
plt.grid()
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('u (V)')
plt.legend(loc='upper right')
plt.show()
    			   

Lorsque la tension U₂ est très faible, il faut abaisser la valeur de Umax_2. Celle-ci a pour effet de modifier le gain de l'amplificateur de la carte Sysam. Les quatre gains possibles correspondent aux valeurs maximales 10, 5, 1 et 0,2 volts. Par exemple, si l'amplitude du signal est inférieure à 0,2 V, on posera Umax_2=0.2, ce qui aura pour effet de régler le gain à sa valeur la plus grande, donc de numériser la plage de tensions de -0,2 à 0,2 volts en 12 bits.

[13] Que représente la résistance R_e ? Donner sa valeur lorsque seul l'oscilloscope est branché. Quelle hypothèse peut-on faire sur le courant I₂ ?

[14] Faire un schéma équivalent du système, où les forces électromotrices d'induction apparaissent sous la forme de sources de tension. En déduire comment les mesures des valeurs efficaces de U_r et de U₂ permettent d'obtenir l'inductance mutuelle (M) entre les deux bobines. Compléter le script pour qu'il affiche l'inductance mutuelle.

[15] La fréquence est f=1000 Hz. Mesurer M lorsque les bobines sont au plus proche, puis refaire la mesure pour différentes distances entre les deux bobines (distance de bord à bord). Tracer M en fonction de la distance.

[16] Placer les deux bobines en contact et introduire un noyau de fer doux (même longueur dans les deux bobines). Mesurer M et commenter.

[17] L'inductance mutuelle peut s'écrire $M=k\sqrt{L_1{L}_2}$, où k est un coefficient de couplage, compris entre 0 et 1. Quelle est la valeur de ce coefficient sans le noyau et en présence du noyau, lorsque les bobines sont au plus proche ?