TP 16 : Filtre passe-bande

1. Introduction

L'objectif est d'étudier un filtre actif passe-bande dont le facteur de qualité est ajustable. On fera une étude en régime sinusoïdal et une étude de la réponse à un échelon.

Matériel :

• Filtre passe-bande Sallen-Key.
• Tourne-vis pour potentiomètre.
• Alimentation double.
• Oscilloscope.
• Générateur de signaux (GBF).
• Carte d'acquisition Sysam SP5.

Le travail en Python doit être déposé dans un sous-dossier à vos noms, à créer dans partage/TP16 Passe-bande.

2. Fonctionnement du filtre

Voici le schéma du filtre, qui comporte un amplificateur de tension de gain K :

Figure pleine page

L'intensité du courant à l'entrée de l'amplificateur de tension est négligeable.

La fonction de transfert de ce filtre est :

$$H\left(\omega \right)=A\frac{\frac{1}{Q}j\frac{\omega }{{\omega }_0}}{1+\frac{1}{Q}j\frac{\omega }{{\omega }_0}+(j\frac{\omega }{{\omega }_0}{)}^2}\text{(1)}$$

avec :

$$\begin{array}{ccc}\hfill & A=\frac{K}{5-K}\hfill & \hfill \text{(2)}\\ \hfill & {\omega }_0=\frac{\sqrt{2}}{RC}\hfill & \hfill \text{(3)}\\ \hfill & Q=\frac{\sqrt{2}}{5-K}\hfill & \hfill \text{(4)}\end{array}$$

ω₀ est la pulsation de résonance, correspondant au maximum du gain et à un déphasage nul. Q est le facteur de qualité. La largeur de la bande passante à -3 dB est :

$$\Delta \omega =\frac{{\omega }_0}{Q}\text{(5)}$$

Le gain maximal est A. Le facteur de qualité augmente avec A selon la relation :

$$Q=\frac{\sqrt{2}}{5}(1+A)\text{(6)}$$

En se plaçant en régime sinusoïdal à la fréquence de résonance f₀, le réglage du potentiomètre permet d'obtenir le gain A correspondant au facteur de qualité souhaité.

L'amplificateur de tension est réalisé au moyen d'un amplificateur linéaire intégré (ALI). Il s'agit du circuit amplificateur non inverseur, dont voici le schéma :

Figure pleine page

On cherche sa fonction de transfert dans le cadre du modèle d'ALI idéal, défini par :

• Une différence de potentielle négligeable entre les entrées IN- et IN+ : $V_{+}=V_{-}$.
• Un courant négligeable dans les entrées IN- et IN+.

[1] Démontrer que le gain de l'amplificateur est :

$$K=\frac{V_S}{V_E}=1+\frac{R_b}{R_a}\text{(7)}$$

Afin d'obtenir un gain ajustable, les résistance $R_a$ et $R_b$ sont réalisées avec un potentiomètre et deux résistances fixes. Voici le schéma complet du filtre avec les valeurs de résistances et de capacités :

Figure pleine page

En théorie, le gain K peut varier de 4,3 à 5,3.

[2] Calculer la fréquence de résonance théorique de ce filtre.

Le notebook filtrePasseBande.ipynb situé dans le dossier partage/TP16 Passe-bande contient une fonction permettant de calculer la fonction de transfert du filtre, comme définie dans l'annexe A. Il comporte aussi une fonction permettant d'obtenir numériquement la fréquence de résonance.

Les valeurs des composants utilisés (résistances et condensateurs) sont connues avec une tolérance de $\pm 5\%$, ce qui correspond à une incertitude-type relative $\frac{u\left(x\right)}{x}=\frac{0,05}{\sqrt{3}}$. La valeur théorique de la fréquence de résonance est donc affectée d'une incertitude, que l'on peut calculer par une méthode de Monte-Carlo. Pour cela, il faut générer N valeurs aléatoires de chaque résistance et capacité (avec la loi normale) puis, pour chaque lot de valeurs, calculer la fréquence de résonance. Finalement, on calcule la moyenne de ces fréquences de résonance et l'écart-type.

[3] Copiez ce notebook dans le sous-dossier portant vos noms. Ajouter le calcul de la fréquence de résonance et de son incertitude par la méthode de Monte-Carlo.

3. Étude expérimentale

4. Annexe A : fonction de transfert

On considère le filtre suivante :

Figure pleine page

Le calcul conduit à l'expression suivante de la fonction de transfert :

$$\underline{H}\left(\omega \right)=\frac{1}{R_1\left(\frac{1}{K}\right(1+\frac{1}{j{C}_1\omega }(j{C}_2\omega +\frac{1}{R_2})\left)\right(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_3}+j{C}_1\omega )-\frac{j{C}_1\omega }{K}-\frac{1}{R_3})}\text{(8)}$$

5. Annexe B : réponse à un échelon

On écrit tout d'abord la fonction de transfert avec la variable s=jω :

$$H\left(s\right)=A\frac{\frac{{\omega }_0}{Q}s}{s^2+\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2}\text{(9)}$$

L'équation différentielle reliant le signal de sortie au signal d'entrée se déduit de cette forme :

$$\frac{d^2{V}_s}{d{t}^2}+\frac{{\omega }_0}{Q}\frac{d{V}_s}{dt}+{\omega }_0^2{V}_s=A\frac{{\omega }_0}{Q}\frac{d{V}_e}{dt}\text{(10)}$$

D'une manière générale (quel que soit le signal d'entrée) la résolution de cette équation nécessite les racines de l'équation :

$$s^2+\frac{{\omega }_0}{Q}s+{\omega }_0^2=0\text{(11)}$$

c'est-à-dire les pôles de la fonction de transfert H(s). On se place dans le cas Q>1/2 où les deux pôles p₁ et p₂ sont complexes conjugués :

$$p_i=-\frac{{\omega }_0}{2Q}\pm j{\omega }_0\sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}}\text{(12)}$$

Lorsque Q>5, on peut utiliser l'approximation suivante :

$$p_i\approx -\frac{{\omega }_0}{2Q}\pm j{\omega }_0\text{(13)}$$

La réponse à un échelon a alors la forme suivante :

$$V_s\left(t\right)=exp(-\frac{{\omega }_0}{2Q}t)(A_{1}cos\left({\omega }_{0}t\right)+A_{2}cos\left({\omega }_{0}t\right))\text{(14)}$$

Il s'agit d'oscillations amorties de pulsation ω₀. Après un nombre d'oscillations égal au facteur de qualité, le facteur exponentiel est égal à :

$$exp(-\frac{{\omega }_0}{2Q}\frac{2\pi Q}{{\omega }_0})=exp(-\pi )=0,043\text{(15)}$$

Une estimation rapide du facteur de qualité à partir de la réponse à un échelon expérimentale peut être faite en comptant les oscillations jusqu'à réduction à 4,3% de l'amplitude maximale. Pour une détermination plus précise, la méthode du décrément logarithmique doit être utilisée. Elle consiste à relever le rapport x des deux maxima entre lesquels il y a n oscillations. Le facteur de qualité est alors :

$$Q=\frac{\pi n}{ln\left(x\right)}\text{(16)}$$