TP 15 : Polarisation de la lumière

1. Lumière non polarisée

Une lumière parfaitement monochromatique est polarisée. Si le champ électrique a une direction constante, la polarisation est rectiligne. De manière générale, une onde monochromatique possède une polarisation elliptique, car son champ électrique tourne dans le plan transversal en décrivant une ellipse, qui éventuellement se réduit à une droite. La polarisation circulaire est un cas particulier de polarisation elliptique.

La lumière des raies d'émission des gaz est quasi monochromatique. Ce type de lumière est caractérisé par une pulsation ω et un temps de cohérence Δt. L'onde peut être représentée par une sinusoïde seulement sur une durée égale au temps de cohérence. Ce temps est de l'ordre du centième de nanoseconde, ce qui est très grand par rapport à la période d'oscillation du champ, mais très petit par rapport aux temps de réponse des capteurs de lumière. La largeur fréquentielle de la raie est reliée au temps de cohérence par la relation :

$$\Delta t\Delta f\approx 1\text{(1)}$$

La polarisation de l'onde n'est déterminée que pendant une durée égale au temps de cohérence. À l'échelle du temps de réponse des capteurs, l'onde est constituée d'un mélange de polarisations aléatoires.

La lumière quasi monochromatique non polarisée émise par une source ponctuelle est donc une onde électromagnétique dont la polarisation fluctue aléatoirement à une échelle de temps égale au temps de cohérence. D'après le modèle des trains d'onde, elle peut être décrite par le champ électrique suivant (pour une onde plane progressive de direction de propagation z) :

$$\overrightarrow{E}(z,t)=E_{0}cos(kz-\omega t+{\psi }_x\left(t\right))\overrightarrow{u_x}+E_{0}cos(kz-\omega t+{\psi }_y\left(t\right))\overrightarrow{u_y}\text{(2)}$$

Les déphasages ${\psi }_x\left(t\right)$ et ${\psi }_y\left(t\right)$ ne sont constants que sur une durée de l'ordre du temps de cohérence et varient aléatoirement par saut. Ces deux fonctions étant non corrélées, la différence entre les phases des deux polarisations rectilignes :

$$\Delta \psi \left(t\right)={\psi }_x\left(t\right)-{\psi }_y\left(t\right)\text{(3)}$$

varie aléatoirement à une échelle de temps de l'ordre du temps de cohérence. À l'échelle du temps de réponse du capteur, le champ électrique n'a pas de polarisation déterminée (ni rectiligne ni elliptique). Dans le cas théorique où le temps de cohérence est infini (onde parfaitement monochromatique), le déphasage $\Delta \psi$ est constant et le champ électrique a une polarisation déterminée (rectiligne ou elliptique).

2. Polariseur rectiligne

Un polariseur rectiligne permet d'obtenir une lumière de polarisation rectiligne à partir d'une lumière non polarisée. Il y a plusieurs manières d'obtenir cet effet (biréfringence, réflexion vitreuse, dichroïsme). On s'intéresse ici à la polarisation par dichroïsme. Une lame d'un matériau dichroïque possède deux axes particuliers perpendiculaires, que l'on notera x et y.

Figure pleine page

La lame absorbe très fortement la lumière dont le champ électrique a la direction de l'axe y et laisse passer, avec très peu d'atténuation, la lumière dont le champ électrique a la direction de l'axe x. Si l'on utilise la décomposition précédente du champ électrique incident sur les deux axes de la lame, on obtient en sortie :

$$\overrightarrow{E}(z,t)=E_{0}cos(kz-\omega t+{\psi }_x\left(t\right))\overrightarrow{u_x}\text{(4)}$$

Il s'agit d'une onde de polarisation rectiligne, parallèle à l'axe x de la lame.

Le polaroid est une lame d'un matériau dichroïque constitué de longues molécules de polymère étirées dans la direction y. Les chaînes de polymère du polaroid sont rendues conductrices par ajout d'atomes d'iodes mais la conduction ne se fait que le long de la chaîne. Il s'en suit une absorption pratiquement complète de l'onde polarisée suivant y. Les lames polaroid sont généralement fixées dans un support qui permet de faire tourner la direction de polarisation. L'inventeur du polaroid est aussi connu pour avoir inventé un procédé de développement photographique instantané, commercialisé sous le nom de marque Polaroid.

On notera $\overrightarrow{p}$ le vecteur unitaire donnant la direction de polarisation, c'est-à-dire celle de l'axe x du polaroid.

Lorsque la lumière incidente est non polarisée, la rotation du polariseur ne produit pas de variation de l'intensité reçue par le capteur, qui est égale à :

$$I=\frac{E_0^2}{2{\mu }_{0}c}\text{(5)}$$

Si la lumière est de polarisation circulaire, la rotation du polariseur ne produit pas non plus de variation de l'intensité.

Avec un polariseur rectiligne, on peut facilement vérifier qu'une lumière est polarisée rectilignement car dans ce cas l'intensité transmise dépend de la direction du polariseur et s'annule pour une direction bien précise. Si la lumière a une polarisation elliptique, il y a une variation plus ou moins grande de l'intensité en sortie lorsqu'on tourne le polariseur (pas de variation dans le cas circulaire) mais l'intensité ne s'annule jamais.

3. Polariseur et analyseur

Pour étudier la transmission d'une lumière de polarisation rectiligne dans un polariseur, on considère un montage dans lequel la lumière traverse successivement deux polariseurs. La direction de polarisation du premier est représentée par le vecteur unitaire $\overrightarrow{p}$. Le second polariseur est appelé analyseur, car il sert à analyser la lumière transmise par le premier. On note $\overrightarrow{a}$ le vecteur unitaire donnant sa direction de polarisation. On représente ces deux directions dans un plan transversal, perpendiculaire à la direction de propagation :

Figure pleine page

Bien que les polariseurs soient représentés par des vecteurs, seule la direction de ces vecteurs importe : il n'y a aucune différence entre le polariseur $\overrightarrow{p}$ et le polariseur $-\overrightarrow{p}$.

Le champ électrique de l'onde transmise par le polariseur est :

$$\overrightarrow{E_1}(z,t)=E_{0}cos(kz-\omega t+{\psi }_p\left(t\right))\overrightarrow{p}\text{(6)}$$

À la sortie de l'analyseur, le champ est le résultat d'une projection orthogonale sur la direction $\overrightarrow{a}$ :

$$\overrightarrow{E_2}(z,t)=E_{0}cos(kz-\omega t+{\psi }_p\left(t\right))\left(\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{a}\right)\overrightarrow{a}\text{(7)}$$

Si θ est l'angle entre le polariseur et l'analyseur :

$$\overrightarrow{E_2}(z,t)=E_{0}cos(kz-\omega t+{\psi }_p\left(t\right))cos\theta \overrightarrow{a}\text{(8)}$$

L'intensité lumineuse à la sortie de l'analyseur est donc :

$$I=\frac{E_0^2}{2{\mu }_{0}c}{cos}^2\theta \text{(9)}$$

L'intensité maximale est obtenue lorsque l'analyseur et le polariseur sont parallèles. L'intensité s'écrit :

$$I=I_{max}{cos}^2\theta \text{(10)}$$

Cette relation consitue la loi de Malus (ingénieur et physicien français, 1775-1812), découverte bien avant la théorie électromagnétique de Maxwell (à ne pas confondre avec le théorème du même auteur). Malus a étudié la polarisation de la lumière par réflexion et le phénomène de polarisation par biréfringence.

Lorsque le polariseur et l'analyseur sont perpendiculaires, on dit qu'ils sont croisés. L'intensité lumineuse en sortie est nulle. En pratique, il y a toujours un peu de lumière détectable car les polariseurs ne sont pas parfaits.

4. Lame quart d'onde

La lame quart d'onde (ou lame $\frac{\lambda }{4}$) est une lame biréfringente. Une lame biréfringente possède deux axes perpendiculaires x et y. Une onde polarisée rectilignement dans la direction x traverse la lame avec un indice de réfraction n_x. Une onde polarisée rectilignement dans la direction y traverse la lame avec un indice de réfraction n_y différent de n_x. L'axe dont l'indice est le plus petit est l'axe rapide de la lame, l'autre est l'axe lent. Supposons que l'axe x soit l'axe rapide.

Considérons une onde de polarisation rectiligne qui arrive sur une lame biréfringente d'épaisseur e :

$$\overrightarrow{E_1}(z,t)=E_{0}cos(kz-\omega t+{\psi }_p\left(t\right))\overrightarrow{p}\text{(11)}$$

Pour déterminer l'onde à la sortie de la lame, il faut décomposer le vecteur unitaire $\overrightarrow{p}$ sur les axes de la lame :

$$\overrightarrow{p}=cos\left(\alpha \right)\overrightarrow{u_x}+sin\left(\alpha \right)\overrightarrow{u_y}\text{(12)}$$

Puisque seule la direction de $\overrightarrow{p}$ importe, on peut se limiter à $0\le \alpha <\pi$. Si la face d'entrée de la lame se trouve en z=0, le champ électrique sur la face de sortie s'écrit :

$$\overrightarrow{E}(e,t)=E_{0}cos\left(\alpha \right)cos(k{n}_{x}e-\omega t+{\psi }_p\left(t\right))\overrightarrow{u_x}+E_{0}sin\left(\alpha \right)cos(k{n}_{y}e-\omega t+{\psi }_p\left(t\right))\overrightarrow{u_y}\text{(13)}$$

car k est le nombre d'onde dans l'air.

L'onde s'écrit pour z>e :

$$\begin{array}{cc}\hfill \overrightarrow{E}(z,t)=& E_{0}cos\left(\alpha \right)cos(k(z-e)+k{n}_{x}e-\omega t+{\psi }_p\left(t\right))\overrightarrow{u_x}\hfill \\ \hfill & +E_{0}sin\left(\alpha \right)cos(k(z-e)+k{n}_{y}e-\omega t+{\psi }_p\left(t\right))\overrightarrow{u_y}\hfill \end{array}$$

En conséquence, l'onde en sortie de la lame biréfringente est :

• de polarisation rectiligne si $\alpha =0$ ou $\alpha =\frac{\pi }{2}$, c'est-à-dire si la direction de polarisation de l'onde incidente coïncide avec un axe de la lame; dans ce cas la polarisation rectiligne en sortie est la même qu'en entrée;
• de polarisation elliptique pour les autres valeurs de $\alpha$.

Le déphasage entre les composantes E_x et E_y du champ électrique en sortie de la lame est :

$$\Delta \varphi =\frac{2\pi }{\lambda }(n_y-n_x)e\text{(14)}$$

Par définition, une lame quart d'onde est telle que ce déphasage est égal à $\frac{\pi }{2}$ c'est-à-dire que : $(n_y-n_x)e=\frac{\lambda }{4}$. Une lame quart d'onde est réalisée pour une longueur d'onde particulière, le plus souvent située au centre du spectre visible (550 nm).

Pour une lame quart d'onde, l'onde incidente de polarisation rectiligne donne en sortie une polarisation elliptique dont les axes coïncident avec ceux de la lame. Le cas particulier important est celui où $\alpha =\frac{\pi }{4}$. Dans ce cas, la polarisation en sortie est circulaire.

Figure pleine page

Si $\alpha =\frac{\pi }{4}$ comme représenté sur la figure, la composante du champ $E_y$ est déphasée de $\pi /2$ par rapport la composante sur $E_x$. Le sens de rotation est donc le sens horaire si on regarde en direction de la source. Si $\alpha =\frac{3\pi }{4}$, le sens de rotation est direct.

5. Mesure de l'intensité

Pour mesurer l'intensité de la lumière, on utilise une photodiode, dont la réponse spectrale est donnée ci-dessous :

Figure pleine page

Comme la plupart des photodiodes, celle-ci a un maximum de sensibilité dans l'infrarouge proche. Elle peut être utilisée dans le visible, mais sa sensibilité dans le bleu est très faible.

Une photodiode placée en circuit fermé (avec une résistance) délivre un courant électrique proportionnel à la puissance lumineuse qu'elle recoît sur sa surface (de l'ordre du millimètre carré). Ce courant est donc proportionnel à l'intensité I de la lumière, si la longueur d'onde est fixée. Pour comparer les courants délivrés par deux longueurs d'onde de lumière différentes, il faut tenir compte de la courbe de réponse ci-dessus. Par exemple, à intensité égale, une longueur d'onde 700 nm donne un courant d'intensité double de la longueur d'onde 500 nm.

Le circuit électronique associé à la photodiode (alimenté par une pile 9V) comporte un amplificateur qui convertit le courant électrique en tension. Cette tension est disponible en sortie entre la masse (borne noire) et la sortie 1 (borne jaune).

Figure pleine page

La conversion courant-tension est assurée par une des résistances que l'on sélectionne avec le commutateur situé dans le boitier. Le maximum de sensibilité (résistance 10 MΩ) est obtenu avec la bascule 1 enfoncée. Il faut vérifier que le maximum de lumière ne provoque pas de saturation de l'amplificateur (à 9 V). Dans le cas contraire, il faut abaisser la sensibilité en enfonçant la bascule 2.

6. Expérience