Potentiel

Particule dans un potentiel

1. Principes

Particule en mouvement unidirectionnel dans une énergie potentielle $V (x)$ .

Potentiel constant sur de larges zones.

Équation de Schrödinger

i ℏ \frac{\partial ψ (x, t)}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ (x, t)}{\partial x^{2}} + V (x) ψ (x, t)

Continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée :

\begin{matrix} ψ (x_{a}^{-}, t) = ψ (x_{a}^{+}, t) \\ \frac{\partial ψ}{\partial x} (x_{a}^{-}, t) = \frac{\partial ψ}{\partial x} (x_{a}^{+}, t) \end{matrix}

Recherche d'un état stationnaire d'énergie $E$ :

ψ (x, t) = e^{- i \frac{E}{ℏ} t} φ (x)

Sur un intervalle où $V (x) = V_{i}$ :

\frac{d^{2} φ (x)}{d x^{2}} + \frac{2 m (E - V_{i})}{ℏ^{2}} φ (x) = 0

Équation différentielle linéaire à coefficient constant.

Continuité de $φ$ et $φ'$ .

2. Marche de potentiel

a. Hypothèses

Particule incidente d'impulsion quasi déterminée $p_{1}$ : indétermination sur la position :

\begin{matrix} Δ x ≫ \frac{ℏ}{p_{1}} \\ Δ x ≫ λ_{1} \end{matrix}

Particule très peu localisée. Paquet d'ondes très grand et très stable.

Hypothèse de calcul : l'impulsion et l'énergie sont déterminées.

Fonction d'onde de la particule incidente :

ψ_{i} (x, t) = A_{1} e^{i (\frac{p_{1}}{ℏ} x - \frac{E}{ℏ} t)}

Fonction d'onde indépendante du temps :

φ_{i} (x) = A_{1} e^{i k_{1} x} = A_{1} e^{i \frac{p_{1}}{ℏ} x}

avec une impulsion $p_{1} = \sqrt{2 m E}$

2. Marche de potentiel

a. Hypothèses

b. Onde réfléchie

Onde réfléchie, représentant l'état de la particule réfléchie par la marche :

φ_{r} (x) = B_{1} e^{- i k_{1} x} = B_{1} e^{- i \frac{p_{1}}{ℏ} x}

L'impulsion de cet état est $- \vec{p_{1}}$ .

Solution générale de l'équation de Schrödinger dans la zone 1 :

φ_{1} (x) = A_{1} e^{i \frac{p_{1}}{ℏ} x} + B_{1} e^{- i \frac{p_{1}}{ℏ} x}

État de superposition de deux impulsions de sens opposés.

Pour un paquet d'onde d'indétermination de position $Δ x$ , la superposition des ondes incidente et réfléchie est localisée sur une distance $4 Δ x$ à gauche de la marche.

2. Marche de potentiel

a. Hypothèses

b. Onde réfléchie

c. Onde transmise

Hypothèse : $E > V_{0}$ .

En mécanique newtonienne, la particule entre dans la zone 2 avec une énergie cinétique :

\frac{1}{2} m v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - V_{0}

Équation de Schrödinger dans la zone 2 :

\frac{d^{2} φ_{2} (x)}{d x^{2}} + \frac{2 m (E - V_{0})}{ℏ^{2}} φ_{2} (x) = 0

Solution générale :

φ_{2} (x) = A_{2} e^{i k_{2} x} + B_{2} e^{- i k_{2} x}

p_{2} = ℏ k_{2} = \sqrt{2 m (E - V_{0})}

L'énergie est conservée alors que l'impulsion (donc la longueur d'onde) est modifiée.

La particule dans la zone 2 ne peut pas revenir (milieu semi-infini) :

φ_{2} (x) = A_{2} e^{i k_{2} x}

État d'impulsion :

{\vec{p}}_{2} = ℏ k_{2} {\vec{u}}_{x}

Coefficients de réflexion et de transmission :

\begin{matrix} r = \frac{B_{1}}{A_{1}} \\ τ = \frac{A_{2}}{A_{1}} \end{matrix}

Conditions de continuité :

\begin{matrix} φ_{1} (0) = φ_{2} (0) \\ \frac{d φ_{1}}{d x} (0) = \frac{d φ_{2}}{d x} (0) \end{matrix}

Système d'équations linéaires :

\begin{matrix} 1 + r = τ \\ i k_{1} (1 - r) = i k_{2} τ \end{matrix}

Coefficients de réflexion et de transmission de la fonction d'onde :

\begin{matrix} r = \frac{k_{1} - k_{2}}{k_{1} + k_{2}} = \frac{\sqrt{E} - \sqrt{E - V_{0}}}{\sqrt{E} + \sqrt{E - V_{0}}} \\ τ = \frac{2 k_{1}}{k_{1} + k_{2}} = \frac{2 \sqrt{E}}{\sqrt{E} + \sqrt{E - V_{0}}} \end{matrix}

Densités de courant de probabilité :

\begin{matrix} J_{i} = \frac{ℏ k_{1}}{m} | A_{1} |^{2} \\ J_{r} = - \frac{ℏ k_{1}}{m} | B_{1} |^{2} \\ J_{τ} = \frac{ℏ k_{2}}{m} | A_{2} |^{2} \end{matrix}

Analogie électromagnétique : vecteur de Poynting moyen.

Probabilité que la particule soit réfléchie :

R = \frac{| J_{r} |}{| J_{i} |} = | r |^{2} = (\frac{\sqrt{E} - \sqrt{E - V_{0}}}{\sqrt{E} + \sqrt{E - V_{0}}})^{2}

Probabilité que la particule soit transmise :

T = \frac{| J_{τ} |}{| J_{i} |} = \frac{k_{2}}{k_{1}} | τ |^{2} = \frac{4 k_{1} k_{2}}{{(k_{1} + k_{2})}^{2}} = \frac{4 \sqrt{E (E - V_{0})}}{{(\sqrt{E} + \sqrt{E - V_{0}})}^{2}}

Conservation de la probabilité :

R + T = 1

Lorsque $E$ est proche de $V_{0}$ , la probabilité de réflexion est importante.

Animation : Réflexion d'une onde de matière sur une marche de potentiel.

2. Marche de potentiel

a. Hypothèses

b. Onde réfléchie

c. Onde transmise

d. Onde évanescente

Hypothèse : $E < V_{0}$ .

En mécanique newtonienne, la particule est réfléchie.

Équation de Schrödinger dans la zone 2 :

\frac{d^{2} φ_{2} (x)}{d x^{2}} - \frac{2 m (V_{0} - E)}{ℏ^{2}} φ_{2} (x) = 0

Solution générale :

\begin{matrix} ℏ α_{2} = \sqrt{2 m (V_{0} - E)} \\ φ_{2} (x) = A_{2} e^{- α_{2} x} + B_{2} e^{α_{2} x} \end{matrix}

Milieu 2 semi-infini : $B_{2} = 0$ .

Coefficients de réflexion et de transmission :

\begin{matrix} r = \frac{i k_{1} + α_{2}}{i k_{1} - α_{2}} \\ τ = \frac{2 i k_{1}}{i k_{1} - α_{2}} \end{matrix}

Probabilité de réflexion $R = \frac{J_{r}}{J_{i}} = | r |^{2} = 1$

La particule est toujours réfléchie, comme en mécanique classique.

Densité de probabilité dans la zone 2 :

ρ_{2} (x) = A | τ |^{2} e^{- 2 α_{2} x}

La particule peut être détectée dans la zone 2, mais cette détection changerait l'état.

Analogie avec l'effet de peau en électromagnétisme. Profondeur de pénétration de l'onde :

δ = \frac{1}{2 α_{2}} = \frac{ℏ}{2 \sqrt{2 m (V_{0} - E)}}

2. Marche de potentiel

a. Hypothèses

b. Onde réfléchie

c. Onde transmise

d. Onde évanescente

e. Paquet d'ondes

\underset{̲}{ψ} (x, t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \underset{̲}{A} (p) e^{i (\frac{p}{ℏ} x - \frac{E (p)}{ℏ} t)} d p

Coefficients de réflexion $r (p)$ et de transmission $τ (p)$ .

Animation : Réflexion d'un paquet d'ondes sur une marche de potentiel.

Simulation : Résolution numérique de l'équation de Schrödinger

2. Barrière de potentiel

a. Hypothèses

Ondes incidente et réfléchie :

φ_{1} (x) = A_{1} e^{i k_{1} x} + B_{1} e^{- i k_{1} x}

avec

p_{1} = ℏ k_{1} = \sqrt{2 m E}

Hypothèse : énergie de la particule inférieure à la hauteur de la barrière

E < V_{0}

En mécanique classique : la particule est réfléchie.

2. Barrière de potentiel

a. Hypothèses

b. Effet tunnel

Solution dans la zone 2 :

φ_{2} (x) = A_{2} e^{- α_{2} x} + B_{2} e^{α_{2} x}

avec

ℏ α_{2} = \sqrt{2 m (V_{0} - E)}

On garde $B_{2}$ car la barrière a une faible largeur.

Solution dans la zone 3 :

φ_{3} (x) = A_{3} e^{i k_{1} x}

État de la particule transmise dans la zone 3, avec une impulsion

{\vec{p}}_{1} = ℏ k_{1} {\vec{u}}_{x}

Continuité de la fonction d'onde et de sa dérivée :

\begin{matrix} A_{1} + B_{1} = A_{2} + B_{2} \\ i k_{1} (A_{1} - B_{1}) = α_{2} (- A_{2} + B_{2}) \\ A_{2} e^{- α_{2} L} + B_{2} e^{α_{2} L} = A_{3} e^{i k_{1} L} \\ α_{2} (- A_{2} e^{- α_{2} L} + B_{2} e^{α_{2} L}) = i k_{1} A_{3} e^{i k_{1} L} \end{matrix}

On pose $A_{1} = 1$ et on résout le système pour $B_{1}, A_{2}, B_{2}, A_{3}$

Probabilité de transmission de la particule :

T = \frac{J_{3}}{J_{1}} = \frac{k_{1} | A_{3} |^{2}}{k_{1} | A_{1} |^{2}}

Résultat (admis) :

T = \frac{1}{1 + \frac{{(e^{α_{2} L} - e^{- α_{2} L})}^{2}}{16 u (1 - u)}}

\begin{matrix} u = \frac{E}{V_{0}} \\ α_{2} L = \frac{L \sqrt{2 m V_{0}}}{ℏ} \sqrt{1 - u} \end{matrix}

$λ_{0}$ : longueur d'onde d'une particule libre d'énergie $V_{0}$ .

\begin{matrix} λ_{0} = \frac{h}{\sqrt{2 m V_{0}}} \\ α_{2} L = 2 π \frac{L}{λ_{0}} \sqrt{1 - u} \end{matrix}

Effet tunnel : lorsque la largeur de la barrière est petite devant la longueur d'onde de la particule, la probabilité de transmission est grande.

Si $L > 2 λ_{0}$ , la probabilité de transmission décroît exponentiellement avec la largeur de la barrière.

2. Barrière de potentiel

a. Hypothèses

b. Effet tunnel

c. Paquet d'ondes

Coefficient de transmission pour chaque impulsion du paquet d'ondes.

Simulation : Résolution numérique de l'équation de Schrödinger

2. Barrière de potentiel

a. Hypothèses

b. Effet tunnel

c. Paquet d'ondes

d. Microscope à effet tunnel

3. Puits de potentiel infini

a. Hypothèses

Puits de potentiel infini : $V_{0} \to \infty$ .

La particule est confinée dans l'intervalle $[0, L]$ :

$ψ (x, t) = 0$ pour $x \leq 0$ et $x \geq L$ .

Équation de Schrödinger dans le puits :

i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}}

Conditions limites :

ψ (0, t) = ψ (L, t) = 0

3. Puits de potentiel infini

a. Hypothèses

b. États stationnaires

État stationnaire d'énergie $E$ :

\frac{d^{2} φ}{d x^{2}} + \frac{2 m E}{ℏ^{2}} φ = 0

On pose $p = ℏ k = \sqrt{2 m E}$ .

\frac{d^{2} φ}{d x^{2}} + k^{2} φ = 0

Conditions limites :

φ (0) = φ (L) = 0

Solution générale :

φ (x) = A e^{i k x} + B e^{- i k x}

Conditions limites :

\begin{matrix} A + B = 0 \\ A e^{i k L} + B e^{- i k L} = 0 \end{matrix}

\begin{matrix} sin (k L) = 0 \\ k L = n π \\ p = n \frac{π ℏ}{L} \\ \frac{λ}{2} = \frac{L}{n} \end{matrix}

Analogie : onde électromagnétique dans une cavité.

3. Puits de potentiel infini

a. Hypothèses

b. États stationnaires

c. Quantification de l'énergie

Énergie de la particule :

E_{n} = \frac{p^{2}}{2 m} = n^{2} \frac{ℏ^{2} π^{2}}{2 m L^{2}}

Quantification de l'énergie : l'énergie d'un état stationnaire ne peut prendre que certaines valeurs.

État fondamental : $n = 1$ .

L'énergie de l'état fondamental est strictement supérieure à l'énergie potentielle : l'énergie cinétique n'est jamais nulle.

En général, l'énergie d'une particule confinée est quantifiée (par ex. électron dans un atome).

L'état stationnaire est défini par un nombre quantique ( $n$ ).

ψ (x, t) = ψ_{0} e^{- i \frac{E_{n}}{ℏ} t} sin (n \frac{π}{L} x)

Normalisation de la fonction d'onde :

\int_{0}^{L} | ψ_{0} |^{2} {sin}^{2} (n \frac{π}{L} x) d x = 1

Densité de probabilité relative à la position :

ρ_{n} (x) = | ψ_{0} |^{2} {sin}^{2} (n \frac{π}{L} x)

Pour un état stationnaire, le sens de l'impulsion est indéterminé :

ψ_{1} (x, t) = \frac{1}{2 i} ψ_{0} (e^{i (\frac{p_{1}}{ℏ} x - \frac{E_{1}}{ℏ} t)} - e^{i (- \frac{p_{1}}{ℏ} x - \frac{E_{1}}{ℏ} t)})

3. Puits de potentiel infini

a. Hypothèses

b. États stationnaires

c. Quantification de l'énergie

d. Superposition d'états stationnaires

ψ (x, t) = \sum_{n = 1}^{N} A_{n} e^{- i \frac{E_{n}}{ℏ} t} sin (n \frac{π}{L} x)

La densité de probabilité n'est plus stationnaire.

Animation : Mode propre dans une cavité.

Superposition de deux états stationnaires :

ψ (x, t) = A_{n} e^{- i \frac{E_{n}}{ℏ} t} sin (n \frac{π}{L} x) + A_{m} e^{- i \frac{E_{m}}{ℏ} t} sin (m \frac{π}{L} x)

Densité de probabilité :

\begin{matrix} ρ (x, t) = & A_{n}^{2} {sin}^{2} (n \frac{π}{L} x) + A_{m}^{2} {sin}^{2} (m \frac{π}{L} x) \\ + & 2 R e [A_{n} A_{m} e^{i \frac{E_{n} - E_{m}}{ℏ} t} sin (m \frac{π}{L} x) sin (n \frac{π}{L} x)] \end{matrix}

3. Puits de potentiel infini

a. Hypothèses

b. États stationnaires

c. Quantification de l'énergie

d. Superposition d'états stationnaires

e. Mesure de l'énergie

ψ (x, t) = \sum_{n = 1}^{N} A_{n} e^{- i \frac{E_{n}}{ℏ} t} sin (n \frac{π}{L} x)

$| A_{n} |^{2}$ : probabilité qu'une mesure de l'énergie donne la valeur $E_{n}$ .

Si la valeur mesurée est $E_{n}$ , la particule est placée dans l'état stationnaire $n$ (réduction du paquet d'onde).